1994年全国大学生数学建模逢山开路问题

The 2ed homework of mathematical modeling TEAM:14#304 dormitory Persons: 04231107 Fan Jingjing 04231114 Jiang Lan 04231115 Li Linjian 04231116 Li Xia March 21,2006 Collage of Mathematical Science ,BNU Modeling in construction Mathematical Modeling For: Prof. Zeng and TA Lee. 逢山修路问题 一，摘要 本题旨在通过对复杂地形的探索与分析 ，以及对资金费用的考 虑，探索出一条逢山开路的最佳路线。 最终找到一条最优路线建设方 案，使花费最低。 我们的主要思路如下：从山脚经居民点到矿区，需要经过一个峡 谷，并且有一条小溪，到达居民区，之后经过一条山脉到矿区 。经过 小溪的地方我们要修桥， 因为考虑到山的坡度问题以及修桥的高价费 用问题，我们需要寻找一条最适路线 ，由于公路有坡度的限制 （  0.125） ， 我们必须选择可行的一条道路通向山谷， 并且尽量花费 最少。修桥的地方我们也要考虑到坡度的可行性， 以及结合水面最宽 处与峡谷深度的那个函数， 找出河面比较窄的点来修桥达到资金花费 最少。之后考虑山峰修一条隧道，由已知条件，我们应尽量控制 隧道 长度在 300 米以内， 因为超过 300 米花费就是一倍！ 通过对隧道长度， 公路坡度，以及矿区高程的因素的考虑， 我们选定了一条路线通过修 隧道过山峰，再至矿区。 最后，我们通过用 matlab 作图，拟合函数计算路线长度，以及 应用公路学以及城市规划的一些原理分析， 提出了一种花费最小化的 可行做法。 关键词：隧道，桥，高程，坡度，资费 二，模型假设 我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑， 寻找一种可行的路线 同时又较为省钱，为这个问题的最佳方案。为简化该问题，我们先做 出几点假设： （1） 、假设山体充分光滑。 （2） 、不考虑路面宽度。 （3） 、溪流的的最深处在x+y=4800，(2400≤x≤4800)上，且该直线 为溪流的中线。 （4） 、桥梁的长宽度为溪流的宽度。 根据对整个地形图及公路走向的认识，我们决定将公路分为四段来 修：一是从起点（0，800）到小溪流，二是修桥及到居民点一端，三 是从居民点到山峰这段，最后就是越过山到达矿区。 我们先建立一个空间三维的直角坐标系，x、y 坐标同题目中一 致，z 坐标则表示对应给出的 x、y 坐标的点的高程。根据题中所给 数据，我们将该地区的大致图形绘制如下： 下面是路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之 比）的限制如下表： 工程种类一般路段桥梁 2000 隧道 1500 （ 长 度 ≤ 300 米） 3000 （ 长 度﹥ 300 米） 对坡度的限制α＜0.125α=0α＜0.100 工程成本/（元/ 300 米） 第一段公路属于一般路段，由于这一段路的终点是桥梁， 故要确定这 一段路首先要确定桥梁的具体位置。 三，模型设计 （一） 、桥梁位置的选取 我们已先假设溪流的中心连线在o-xy 面上的投影为直线段 x+y=4800(2400≤x≤4800)上，先假设桥梁的长度为小溪的宽度，小 溪的宽度与（溪流最深处的）x 的坐标关系可近似表示为：  x -2400 w(x）    5,(2400  x  4800) 2  3 4 由此可知，小溪的宽度随 x 的增加呈递增的关系。再从小溪左右 公 路 对 坡 度 要 求 ， 我 们 暂 时 确 定 小 溪 的 位 置 在 点 A 1 (2800,2000,900)及A 2 (3200,1600,700)之间，因为小溪的直线方程从A 1 点 x  2800 400t  开始为：y  2000 400t，我们先假设在小溪中心高程 z=800 的地方  z  900 200t  修桥。在这样的高程上，我们找到小溪上对应的点为A(3000,1800,800)， 由此算出溪流的宽度：w(3000)  77。因为桥的坡度为零，从这方面考 虑，则桥的两个落点只能在点B 1 (2800,1600,1300),B 2 (3200,2000,1100)这两 点与 A 点的两条直线上确定，为了方便，我们做一个垂直于 o-xy 面， C 1 ,C 2 含直线B 1B2 的剖面如下图， 为桥的两个落点，为了满足桥的 宽度最接近小溪宽度， 通过计 算，我们求得 C 1  (2978,1778,855),C 2 (3036,1836,855) ，则桥的实际高程为 855，桥的 实际宽度为 82 米。倒此，我们解决的桥梁问题。 （二） 、第一段山路的优化设计 由题所给数据及上面对桥梁位置的找寻，我们可以知道这段路的 始点为 M（0，800，650） ，终点为C 1 (2978,1778,855)。通过对整个数据 的观察及计算， 我们需要在 x=400,x=800的位置分别寻找高程 z=700， 750 的点，为了简便计算，我们假设在x=400 与 x=800 的地方，山形 在两点间呈直线，那么我们可以得到这样两个点 M 1 (400,628,700),M 2 (800,464,750)我们用分段直线连接 MM 1 ,M 1M2 ,及M 2 M 3 ，这里M 3  (1200,400,800),记该段曲线的长度为S 1。 在 y=400 这个平面上，我们在 x=1200 到 x=2400 直接修路是可行的， 于是根据题中所给数据，我们拟合一条山体曲线，即公路的曲线如下 图所示（由于横纵坐标的选取间隔不一样，故看起来较为陡峭，实际 不然） ： 该曲线的函数为： z=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570， x 在 1200 到 2400 之间，记该段曲线的长度为S 2。 现在解决该段曲线最后一段，通过对数据的观察，我们认为该段 曲线应该要经过 点(2400,400,850),(2800,800,830),(3200,1200,900),再到C1(2978,1778,855)这点。 通过对坡的计算，发现这样走是可行的。我们就直接用几段线段来连 接这几点，记该部分曲线的长度为S 3。 则第一段公路的长度为S  S 1 S 2 S 3 4124.2 （三） 、桥与居民区之间的路段优化 这段是从点C 2(3036,1836,855) 开始到居民点D(4000,2000,960)结束， 通过对开始点高程和结束点高程的考虑， 由于高程偏高，故不能直接 走，需要从高程较接近的路线绕道居民点。我们认为应该先从点 （3200，1600，700）与点（3200，2000，1100）之间寻找一个高程 在 870 左右的点，经过计算我们确定这个点为（3200，1770，870） ， 再经由点（3600，1600，900） ，最后至居民点D(4000,2000,960)。通过 对高度的考虑及周围点的坐标变化情况， 在这几个点之间用