13统筹优化问题

第十三讲统筹优化问题 刚刚过完母亲节，马上就要迎来6 月中旬的父亲节了！小朋友们，在这两个特别的节日里你送给爸爸 妈妈什么礼物了？呵呵，我们来看看小芳给妈妈送上的母亲节礼物吧！ 母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上 一份特别的礼物.她准备做大米饭、 炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间， 洗米要 3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟，打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水果沙拉要 10 分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿 饭？父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？ 答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水 果沙拉要 10 分钟，共 17 分钟进行完） ，所以至少需要 23 分钟可将这份礼物准备完毕. 当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情.华罗庚教授在中学 语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章，详细介绍了统筹方法和指导意义.在实际生活中，我们 科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率. 类型Ⅰ：统筹安排事情类型Ⅰ：统筹安排事情 【例1】 （03 年迎春杯试题） （难度系数：★★）小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已 晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重 量小，每次只能过2 人，因此必须先由2 个人拿着手电筒过桥，并由1 个人再将手电筒送回，再由2 个人 拿着手电筒过桥……直到4 人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1 分钟；小明单独过桥要1.5 分钟;小 红单独过桥要 2 分钟;小蓉单独过桥要 2.5 分钟.那么,4 个人都通过小木桥,最少要多少分钟？ 分析：要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就 能保证时间最短了． 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5+1=2.5(分钟)； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2+1=3(分钟)； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用2.5+3+2.5=8(分钟)． 【例2】 （奥数网备选题库）（难度系数：★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1 个 饼需要 2 分钟（假定正、反面各需1 分钟），问煎1993 个饼至少需要几分钟？问煎1994 个饼至少需要几 分钟？ 分析：如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟；如果煎2 个饼，仍然需要2 分钟；如果煎3 个饼，初学者看来 认为至少需要 4 分钟： 因为先煎 2 个饼要 2 分钟； 再单独煎第 3 个饼， 又需要 2 分， 所以一共需要 4 分钟． 但 是，这不是最佳方案．最优方法应该是：首先煎第1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第1 号饼的反 面及第 3 号饼的正面又用1 分钟；最后煎第2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用3 分钟就煎 好了 3 个饼． 我们归纳出煎 1、2、3 个饼分别需要 2、2、3 分钟，我们可以继续往下分析，煎4 个饼最少需要 4 分 钟，煎 5 个饼需要 3＋2＝5 分钟，煎 6 个饼需要 6÷2×2＝6 分钟，煎 7 个饼需要 3＋4÷2×2＝7 分钟， 那么煎 1993 个饼至少需要 1993 分钟，煎 1994 个饼至少需要 1994 分钟. 【巩固】（2000 年小数报数学邀请赛） （难度系数：★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的 正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下2 块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？ 分析：先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再 放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙 3 分钟， 锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3 块饼，用去 9 分钟，烙后 21-3=18 块饼，至少用去 18÷2×6=54(分钟)， 所以一共需要 54+9=63 分钟.如果烙 22 块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是22÷2×6=66 分钟. 【例3】 （06 年国家公务员二类考卷） （难度系数：★★★）某商店汽水做促销活动，规定每5 个空瓶能 换 1 瓶汽水.小强家买了 80 瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶 汽水？ 分析： 【前铺】 （此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03 年国家公务 员考试）（难度系数：★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12 元，每瓶汽水 3 元，每三个 空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？ 分析：12 元可以买 4 瓶汽水，用其中3 个空瓶换 1 瓶汽水，加上剩下的1 个空瓶，再向卖汽水的借一个空 瓶，用这 3 个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！4+1+1＝6 瓶. 原题解答： （法 1）我们按照实际换汽水过程分析： 喝掉 80 瓶汽水，用 80 个空瓶换回 16 瓶汽水； 喝掉 16 瓶汽水，用 16 个空瓶换回 3 瓶汽水余 1 个空瓶； 喝掉 3 瓶汽水，连上次余下的1 个空瓶还剩 4 个空瓶.此时，再借 1 个空瓶，与剩下的 4 个空瓶一起又 可换回 1 瓶汽水，喝完后将空瓶还了. 所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）. 以上方法正确运用“5 个空瓶可换 1 瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用 可就“吃亏了” ！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？ （法 2）注意到“每5 个空瓶可换一瓶汽水” （连汽水带瓶）这个条件，可知每4 个空瓶就能换到一瓶汽水 （不带瓶） ，那么喝剩的 80 个空瓶共能换到 20 瓶汽水，所以小强家前后共能喝到 80+20=100（瓶）汽水. 综合式是 80+80÷（5-1）=100（瓶） 。 （法 3）每 4 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶） ，即 1 个空瓶能换 （1+ 1 瓶汽水，那么买 1 瓶汽水实际能喝到 4 11 ）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80×（1+）=100 瓶汽水. 44 【拓展】 （07 年希望六年级杯培训试题改编） （难度系数：★★★）学校师生 1140 人外出参观，计划每人 发 2 瓶汽水，商店规定每6 个空汽水瓶可以换 1 瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换 汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？ 分析：每 6 个空瓶就能换到 1 瓶汽水，即每 5 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶） ，即 1 个空瓶能换 汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+ 1 瓶 5 11 ）瓶汽水，因此需要买1140×2÷（1+）=1900（瓶）汽水. 55 【例4】 （奥数网习题库）（难度系数：