13统筹优化问题

第十三讲统筹优化问题 刚刚过完母亲节，马上就要迎来6 月中旬的父亲节了小朋友们，在这两个特别的节日里你送给爸爸 妈妈什么礼物了呵呵，我们来看看小芳给妈妈送上的母亲节礼物吧 母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上 一份特别的礼物.她准备做大米饭、 炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间， 洗米要 3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟，打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水果沙拉要 10 分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗至少需要多长时间能做好这顿 饭父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物 答案提示聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的合理的安排先洗米3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟（在此同时我们还可以将打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水 果沙拉要 10 分钟，共 17 分钟进行完） ，所以至少需要 23 分钟可将这份礼物准备完毕. 当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情.华罗庚教授在中学 语文课本中，曾有一篇名为统筹原理的文章，详细介绍了统筹方法和指导意义.在实际生活中，我们 科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率. 类型Ⅰ统筹安排事情类型Ⅰ统筹安排事情 【例1】 （03 年迎春杯试题） （难度系数★★）小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已 晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重 量小，每次只能过2 人，因此必须先由2 个人拿着手电筒过桥，并由1 个人再将手电筒送回，再由2 个人 拿着手电筒过桥直到4 人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1 分钟；小明单独过桥要1.5 分钟;小 红单独过桥要 2 分钟;小蓉单独过桥要 2.5 分钟.那么,4 个人都通过小木桥,最少要多少分钟 分析要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就 能保证时间最短了． 第一步小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用1.512.5分钟； 第二步返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了213分钟； 第三步最后小强与小蓉一起过桥用了2.5 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用2.532.58分钟． 【例2】 （奥数网备选题库）（难度系数★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1 个 饼需要 2 分钟（假定正、反面各需1 分钟），问煎1993 个饼至少需要几分钟问煎1994 个饼至少需要几 分钟 分析如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟；如果煎2 个饼，仍然需要2 分钟；如果煎3 个饼，初学者看来 认为至少需要 4 分钟 因为先煎 2 个饼要 2 分钟； 再单独煎第 3 个饼， 又需要 2 分， 所以一共需要 4 分钟． 但 是，这不是最佳方案．最优方法应该是首先煎第1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第1 号饼的反 面及第 3 号饼的正面又用1 分钟；最后煎第2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用3 分钟就煎 好了 3 个饼． 我们归纳出煎 1、2、3 个饼分别需要 2、2、3 分钟，我们可以继续往下分析，煎4 个饼最少需要 4 分 钟，煎 5 个饼需要 3＋2＝5 分钟，煎 6 个饼需要 622＝6 分钟，煎 7 个饼需要 3＋422＝7 分钟， 那么煎 1993 个饼至少需要 1993 分钟，煎 1994 个饼至少需要 1994 分钟. 【巩固】（2000 年小数报数学邀请赛） （难度系数★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的 正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下2 块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟 分析先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再 放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙 3 分钟， 锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3 块饼，用去 9 分钟，烙后 21-318 块饼，至少用去 182654分钟， 所以一共需要 54963 分钟.如果烙 22 块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是222666 分钟. 【例3】 （06 年国家公务员二类考卷） （难度系数★★★）某商店汽水做促销活动，规定每5 个空瓶能 换 1 瓶汽水.小强家买了 80 瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶 汽水 分析 【前铺】 （此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03 年国家公务 员考试）（难度系数★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12 元，每瓶汽水 3 元，每三个 空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水 分析12 元可以买 4 瓶汽水，用其中3 个空瓶换 1 瓶汽水，加上剩下的1 个空瓶，再向卖汽水的借一个空 瓶，用这 3 个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了411＝6 瓶. 原题解答 （法 1）我们按照实际换汽水过程分析 喝掉 80 瓶汽水，用 80 个空瓶换回 16 瓶汽水； 喝掉 16 瓶汽水，用 16 个空瓶换回 3 瓶汽水余 1 个空瓶； 喝掉 3 瓶汽水，连上次余下的1 个空瓶还剩 4 个空瓶.此时，再借 1 个空瓶，与剩下的 4 个空瓶一起又 可换回 1 瓶汽水，喝完后将空瓶还了. 所以，他们家前后最多能喝到汽水801631100（瓶）. 以上方法正确运用“5 个空瓶可换 1 瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用 可就“吃亏了” 但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢 （法 2）注意到“每5 个空瓶可换一瓶汽水” （连汽水带瓶）这个条件，可知每4 个空瓶就能换到一瓶汽水 （不带瓶） ，那么喝剩的 80 个空瓶共能换到 20 瓶汽水，所以小强家前后共能喝到 8020100（瓶）汽水. 综合式是 8080（5-1）100（瓶） 。 （法 3）每 4 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶） ，即 1 个空瓶能换 （1 1 瓶汽水，那么买 1 瓶汽水实际能喝到 4 11 ）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80（1）100 瓶汽水. 44 【拓展】 （07 年希望六年级杯培训试题改编） （难度系数★★★）学校师生 1140 人外出参观，计划每人 发 2 瓶汽水，商店规定每6 个空汽水瓶可以换 1 瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换 汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水 分析每 6 个空瓶就能换到 1 瓶汽水，即每 5 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶） ，即 1 个空瓶能换 汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1 1 瓶 5 11 ）瓶汽水，因此需要买11402（1）1900（瓶）汽水. 55 【例4】 （奥数网习题库）（难度系数