高中概率知识要点

高高中中概概率率知知识识要要点点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 概率知识要点 一、随机事件的概率一、随机事件的概率 1 1 事件的有关概念事件的有关概念 （1）必然事件：一般地，把在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必 然事件。 简称必然事件 （2）不可能事件：把在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能 事件。简称不可能事件 （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件 S 的确定事件。 （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机 事件。简称随机事件 （5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A、 B、C,…,表示 2 2 随机试验随机试验 对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可 能性大小，最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； （3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但是一次试验之前却不能确定这次试验 会出现哪一个结果 我们称这样的试验为随机试验 3 3 频数、频率和概率频数、频率和概率 （1）频数：在相同条件 S 下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验 中事件 A出现的次数n A为事件 A出现的频数。 2 （2）频率：在相同条件 S 下重复 n次试验，时间 A出现的比例f n (A)  A出现的频率 n A称为事件 n （3）概率：随机事件 A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 4 4 事件的运算关系事件的运算关系 定义符号表示 对于事件 A与事件 B，如果事件 A发生，B  AA  B 包含关系则事件 B一定发生，称事件 B包含事件 A （或事件 A包含于事件 B） 相等关系若B  A且A  B，则称事件 A 与事件 B 相A=B 等 并 事件 （和 事某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 BA B(或A B) 件）发生。 交 事件 （积 事某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 BA B(或AB) 件）发生。 5 5 互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件 （1）互斥事件 A 与事件 B互斥：A B为不可能事件，即A B   A与事件 B在任何一次试验中并不会同时发生。 （2）对立 事件 A 与事件 B互为对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事 件，即事件 A与事件 B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 6 概率的几个基本性质概率的几个基本性质 （1）概率P（A）的取值范围： 0  P(A) 1. . . ，即事件 （2）必然事件 E的概率为 1 ，即P(E) 1 （3）不可能事件 F的概率为 0. 即 P(F)  0 （4）若事件 A与事件 B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 （5）事件 B与事件 A 互为对立事件，则 AB 为必然事件， 所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1， 从而 P(A)=1 - P(B) 3 二、古典概型二、古典概型 1 1、古典概型的概念、古典概型的概念 （1）基本事件 一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件 （2）基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基 本事件。 ②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件（除不可能事件）都可 以表示成基本事件的和 （3）古典概型的定义 ①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有两个：①有限性；②等可能性 2 2、古典概型的概率计算公式、古典概型的概率计算公式 一般地，如果一次试验中共有 n种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概 1 率都是，如果事件 A包含的结果有 m 个，那么事件 A发生的概率 n P(A)  A包含的基本事件个数m  总的基本事件个数n 三、几何概型三、几何概型 1 1、基本概念、基本概念： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4 （2）几何概型的概率公式： P(A)  （3）几何概型的特点： 构成事件A的测度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的总测度（面积或体积） ①无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等 四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率 1 1、条件概率、条件概率 (1)条件概率的定义：设 A,B为两个事件，在已知事件 A发生的条件下，事件 B发 生的概率叫做条件概率记作P(B A),读作“A发生的条件下 B的概率” 注意：已知 A发生，在此条件下 B发生，相当于 AB发生，要求P(B A)相当于 把 A看做新的基本事件空间来计算 AB发生的概率，即 n(AB) n(AB)P(AB)n() P(B A)  n(A) n(A)P(A) n() (2)条件概率的性质 ①0  P(B A) 1 ②如果 B和 C 事两个互斥事件，则P(BC A)  P(B A) P(C A) 2 2、事件的独立性、事件的独立性 （1）相互独立事件 设 A,B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A与事件 B相互独立。事件 A是否发生对事件 B发生的概率没有影响，即P(B A)=P(B),这是我们称两个事件 A,B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。 一般地，当事件 A,B相互独立时，A与B,A与 B,A与B也都相互独立 3 3、独立重复试验、独立重复试验 5 （1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试 验，每次试验都只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件 发生的概率均相等。 （2）在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X,在每次试验中事件 A发生 的概率为 p，那么在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为 kkP(X  k)  C n p (1 p)nk，k=1,2,…,n 6