量子力学期末考试试题和答案A

20022002 级量子力学期末考试试题和答案级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明： （共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、 全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系 的波函数。 （4 分） 22ˆˆi(p x  xp ) 是厄密算符 （5 分） xx 4、证明 ˆ x之间的测不准关系。 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量 p （6 分） ˆ ˆˆBˆ  0，求 ˆ  B ˆA ˆ 2 B ˆ 21，且A 二、 （15 分）已知厄密算符 A,B ，满足A ˆ 、B ˆ 的矩阵表示；1、在 A 表象中算符A ˆ 的本征值和本征函数；2、在 B 表象中算符A 3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。 三、 （15 分）设氢原子在t  0时处于状态 111 R 21 (r)Y 10 (,) R 31 (r)Y 10 (,) R 21 (r)Y 11 (,) 222 ，求 (r,0)  ˆ ˆ2 和 L z的取值几率和平均值； 1、t  0时氢原子的E、L ˆ ˆ2 和 L z的取值几率和平均值。 2、t  0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L 四、 （15 分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 1 0 0   0 C 0  ˆ H 030 C 00 0 02  00C   由下面的矩阵给出 ˆ  H ˆ (0) H ˆ，C 是一个常数，C 1，用微扰公式求能量至二级修这里，H 正值，并与精确解相比较。 五、 （10 分）令 S   S x  iS y， S   S x iS y，分别求 S 和 S 作用于 S z的本征态 1011    01 22  和 的结果，并根据所得的结果说明 S 和 S 的重要性是什 么？ 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：  Ae i  ( prEt)  2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的 取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波 函数为： 1   1 (q 1)2 (q 2 )  1(q2 ) 2 (q 1) 2 。  A  222ˆ x是厄密算符，所以 ˆˆ x [p ˆ x ,x]i[p ˆ x ,x]p ˆ x  2p ˆ x，因为 pˆˆi[p ,x] ipi(p x  xp ) xxx 4、= 22ˆ x ˆ x i(p x  xp ) 是厄密算符。 ˆ ，k是一个算符或普通的数。以F、G和 ˆ G ˆ F ˆ 的对易关系F ˆGˆ  ik ˆ 和G5、设F ˆ  G ˆ G ， ˆ 和k在态中的平均值，令 F ˆ  F ˆ  F，G ˆ 、G k 依次表示F k2 22 ˆˆ (F ) (G )  4 ，这个关系式称为测不准关系。则有 ˆ x之间的测不准关系为： 坐标x和动量 p ˆ x xp  2 ˆ2 1，所以算符A ˆ 的本征值是1，因为在A 表象中，算符A ˆ 二、解1、由于A 1 0  ˆ(A)   A 0 1  ˆ  的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符A的矩阵是： b 11 b 12  ˆ(A)   B b bˆBˆ  0得： ˆ  B ˆA ˆ 2122  ，利用 A B设在 A 表象中算符的矩阵是 0  0 b 12   0 b 12  b 12b21  1   b 21b12  b 11 b 22  0 ；由 于B ˆ2 1， 所 以 b21 0  b21 0  0 ，  0  1 1  b 12   b 21；由于 B ˆ 是厄密算符，B ˆ  B ˆ ， b 12 b 12     0   0 b*  12 1  *  b 12  b 1 12 *0  b 12  ib eˆ 在 A 表象中的矩阵表示式为： 12 令， 其 中  为 任 意 实 常 数 ， 得 B 0 ˆ(A)    i B e  ei  0   ei  0   0 ˆ(B)    i A e ˆ  2、类似地，可求出在 B 表象中算符A的矩阵表示为：  0  i ˆ 的本征方程为：  e 在 B 表象中算符A  e iei         i  0   ，即e    ei 0  i  e 0  和  不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即  ei ei   0 21 0 1 1 e i 1 e i  A   1122 1 1 对 有：，对有：  A 1 e i 1 e i   ˆ 的本征值是1，本征函数为 2  1  和 2  1 所以，在B 表象中算符A 1 e i 1 e i   ˆ 的本征值是1，本征函数为 2  1  和 2  1 3、类似地，在A 表象中算符B ˆ 在 A 表象中的本征函数按列排从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B 1 e i S   12  成的矩阵，即 ei  1   (n 1,2,3 ) e s 2 1 E n   2a 0 n2 三、解： 已知氢原子的本征解为：  nlm (r,,)  R nl (r)Y lm (,) ，将 (r,0) 向氢原子的本征态展开， 1、 (r,0) = nlm c 210 (0)   c nlm (0) nlm (r,,) ，不为零的展开系数只有三个，即 1 1 c(0)   1 c 211 (0)  310 2 ， 2 ，显然，题中所给的状态并未归一 2， 4 化，容易求出归一化常数为： 5 ，于是归一化的展开系数为： c210(0)  1141 c 310 (0)   255 ， 2 W(E 2 ,0)  421  c 211(0)  55 ， 2 42  55 （1）能量的取值几率 1232 W(E 3 ,0)  555，5， 32 E E 2 E 3 55 平均值为： 2 2 ˆ2  22 ˆW(2 ,0) 1，平均值 L（2）L取值几率只有： ˆ （3） L z的取值几率为： W(0,0) 