量子力学期末考试试题和答案A

20022002 级量子力学期末考试试题和答案级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明 （共 25 分） 1、什么是德布罗意波并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么（6 分） 3、 全同费米子的波函数有什么特点并写出两个费米子组成的全同粒子体系 的波函数。 （4 分） 22ˆˆip x  xp 是厄密算符 （5 分） xx 4、证明 ˆ x之间的测不准关系。 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量 p （6 分） ˆ ˆˆBˆ  0，求 ˆ  B ˆA ˆ 2 B ˆ 21，且A 二、 （15 分）已知厄密算符 A,B ，满足A ˆ 、B ˆ 的矩阵表示；1、在 A 表象中算符A ˆ 的本征值和本征函数；2、在 B 表象中算符A 3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。 三、 （15 分）设氢原子在t  0时处于状态 111 R 21 rY 10 , R 31 rY 10 , R 21 rY 11 , 222 ，求 r,0  ˆ ˆ2 和 L z的取值几率和平均值； 1、t  0时氢原子的E、L ˆ ˆ2 和 L z的取值几率和平均值。 2、t  0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L 四、 （15 分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 1 0 0   0 C 0  ˆ H 030 C 00 0 02  00C   由下面的矩阵给出 ˆ  H ˆ 0 H ˆ，C 是一个常数，C 1，用微扰公式求能量至二级修这里，H 正值，并与精确解相比较。 五、 （10 分）令 S   S x  iS y， S   S x iS y，分别求 S 和 S 作用于 S z的本征态 1011    01 22  和 的结果，并根据所得的结果说明 S 和 S 的重要性是什 么 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式  Ae i  prEt  2、定态定态是能量取确定值的状态。性质定态之下不显含时间的力学量的 取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波 函数为 1   1 q 12 q 2  1q2  2 q 1 2 。  A  222ˆ x是厄密算符，所以 ˆˆ x [p ˆ x ,x]i[p ˆ x ,x]p ˆ x  2p ˆ x，因为 pˆˆi[p ,x] ipip x  xp xxx 4、 22ˆ x ˆ x ip x  xp 是厄密算符。 ˆ ，k是一个算符或普通的数。以F、G和 ˆ G ˆ F ˆ 的对易关系F ˆGˆ  ik ˆ 和G5、设F ˆ  G ˆ G ， ˆ 和k在态中的平均值，令 F ˆ  F ˆ  F，G ˆ 、G k 依次表示F k2 22 ˆˆ F G  4 ，这个关系式称为测不准关系。则有 ˆ x之间的测不准关系为 坐标x和动量 p ˆ x xp  2 ˆ2 1，所以算符A ˆ 的本征值是1，因为在A 表象中，算符A ˆ 二、解1、由于A 1 0  ˆA   A 0 1  ˆ  的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符A的矩阵是 b 11 b 12  ˆA   B b bˆBˆ  0得 ˆ  B ˆA ˆ 2122  ，利用 A B设在 A 表象中算符的矩阵是 0  0 b 12   0 b 12  b 12b21  1   b 21b12  b 11 b 22  0 ；由 于B ˆ2 1， 所 以 b21 0  b21 0  0 ，  0  1 1  b 12   b 21；由于 B ˆ 是厄密算符，B ˆ  B ˆ ， b 12 b 12     0   0 b*  12 1  *  b 12  b 1 12 *0  b 12  ib eˆ 在 A 表象中的矩阵表示式为 12 令， 其 中  为 任 意 实 常 数 ， 得 B 0 ˆA    i B e  ei  0   ei  0   0 ˆB    i A e ˆ  2、类似地，可求出在 B 表象中算符A的矩阵表示为  0  i ˆ 的本征方程为  e 在 B 表象中算符A  e iei         i  0   ，即e    ei 0  i  e 0  和  不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即  ei ei   0 21 0 1 1 e i 1 e i  A   1122 1 1 对 有，对有  A 1 e i 1 e i   ˆ 的本征值是1，本征函数为 2  1  和 2  1 所以，在B 表象中算符A 1 e i 1 e i   ˆ 的本征值是1，本征函数为 2  1  和 2  1 3、类似地，在A 表象中算符B ˆ 在 A 表象中的本征函数按列排从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B 1 e i S   12  成的矩阵，即 ei  1   n 1,2,3 e s 2 1 E n   2a 0 n2 三、解 已知氢原子的本征解为  nlm r,,  R nl rY lm , ，将 r,0 向氢原子的本征态展开， 1、 r,0 nlm c 210 0   c nlm 0 nlm r,, ，不为零的展开系数只有三个，即 1 1 c0   1 c 211 0  310 2 ， 2 ，显然，题中所给的状态并未归一 2， 4 化，容易求出归一化常数为 5 ，于是归一化的展开系数为 c2100  1141 c 310 0   255 ， 2 WE 2 ,0  421  c 2110  55 ， 2 42  55 （1）能量的取值几率 1232 WE 3 ,0  555，5， 32 E E 2 E 3 55 平均值为 2 2 ˆ2  22 ˆW2 ,0 1，平均值 L（2）L取值几率只有 ˆ （3） L z的取值几率为 W0,0 