1,已知控制系统的开环零极点分布如图所示,试绘制闭环系统根轨迹

1，已知控制系统的开环零极点分布如图所示，试绘制闭环系统根轨迹。 jj 0  0  (a)(b) jj 0  0  (c)(d) 图 T3.6 (a)解：系统有一个开环极点－p1， 渐近线与负实轴重合，并指向－∞， 故系统根轨迹与渐近线重合， 如图所示。 (b)解：系统有两个开环极点－p1，－p2和 一个开环零点－z1，n-m=1，渐近线 与负实轴重合。实轴上的根轨迹为－p1 到－∞，－p2与－z1之间等两段。 j -p 1 0  j -p1-p2-z10  (c)解：系统有两个开环极点－p1，－p2和一个开环零点－z1，n-m=1，渐近线与负实轴重 －p 1 与－p2之间等两段。合。 实轴上的根轨迹为－z1到－∞，在－p1与－p2之间有分离点， －z 1 左方有会合点，复平面上也有根轨迹，是一个园，如图所示。 1 j -z1-p1-p2 0  (d)解：系统有三个开环极点－p1，－p2，－p3，渐近线如图所示。实轴上的根轨迹与复实 轴重合。 j  p 1  p 3 0   p 2 2，已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹，并标出渐近线、渐近线与实 轴交点。 (1) G0(s)  k (s  2)(s  3) 解：系统开环极点是，－p1＝－2，－p2＝－3。实轴上的根轨迹在极点p1和p2之间。 23  2.5 2 2k 1 渐近线与实轴的夹角为， 1800900,2700 2 j 渐近线与实轴的交点为，F  －3 －2－1 0  2 (2) G 0 (s)  k (s1)(s2)(s3) 解：系统开环极点是，－p1＝－1，－p2＝－2，－p3＝－3。实轴上的根轨迹在极点p1 和p2之间，以及p3沿负实轴到无穷远处。 1 23  2 3 2k 1 渐近线与实轴的夹角为， 1800 600,1800,3000 3 渐近线与实轴的交点为，F  求根轨迹的分离点，由系统得特征方程，D(s)  (s1)(s2)(s3) K  0 K  (s1)(s 2)(s3)  (s 6s 11s6) 32 3 dK , s 1  1.42s 2  2.58 (3s212s11)  0s 1,2  2 3ds 舍去s2 2.58（它不在根轨迹上） ，s1 1.42为分离点 (3)G0(s)  j －3 －2－1 0  k(s2) (s3)(s22s2) 解：系统开环极点是，－p1＝－3，－p1,2＝－1 j1。开环零点－z1 2。实轴上的根轨 迹在极点p1和 z1之间。 311 2  1.5 31 2k 1180 0900,2700 渐近线与实轴的夹角为， 2 渐近线与实轴的交点为，F  3 j j 0 -j -3-2-1  (4) G 0 (s)  k s(s  2)(s2 2s  5) －p 3,4＝－1 j2 。 －p 1 ＝0，－p 2＝－2 ，解： 系统开环极点是，实轴上的根轨迹在极点p1 和p2之间。 渐近线与实轴的交点为，F  1渐近线与实轴的夹角为， 45 求根轨迹的分离点，由系统得特征方程，D(s)  s(s  2)(s  2s  5)  K  0 K  s(s2)(s 2s5) 2 2 0 dK  (2s2)(s22s5)(s22s)(2s2)  2(s1)(2s24s5)  0 ds s 1  1，s 2,3  1 j (5) G 0 (s)  6  1 j1.225，这 3 个解都是根轨迹的分离点。 2 j j -2 -10 -j  k (s 1)2(s  4)2 解：系统开环极点是，－p1,2＝1，－p3,4＝－4。实轴上没有根轨迹段。 渐近线与实轴的交点为，F  2.5 渐近线与实轴的夹角为，  450 4 j -4 -3 -1 -20  3，已知控制系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹，确定闭环系统的极点位置，并 指出系统的响应是欠阻尼，还是过阻尼；求出使系统处于欠阻尼状态的根轨迹增益k′的范 围。 G 0 (s)  10(s5) s(s3) 解：①绘制根轨迹G0(s)  K(s5) s(s3) 系统开环极点是，－p1＝0，－p2＝－3。开环零点－z1 5。实轴上的根轨迹在极点p1 和p2之间，－z1到－∞。 求根轨迹会合点，系统特征方程，D(s)  s 3s K(s5)  0 2 dK s210s15s23s  K   ， 2ds(s5)s5 解得，s1,2 5 10， s 1  1.84，s 2  8.16 j 0  -8-5-1-3 ②确定K10闭环系统极点位置。 根轨迹上的每一个点都对应一个确定的k’ 值。这可以根据传递函数分母方程去求。由 分母方程，1G0(s)  0，得 10(s5) s(s3)  0，s 13s50  0 2 5 s 1,2  6.5 j5.57 ③求欠阻尼状态根轨迹增益k′范围。 系统特征方程，D(s)  s 3s K(s5)  0， s (K3)s5K  0 22 s 1,2 (K3)(K3)245K ， 2 2 当系统为欠阻尼状态时，特征方程得根具有虚部，因此必有， (K 3)  45K 由根轨迹图分析可知， 当 K 从小到大增大过程，从分离点开始到会合点止， 特征方程具 有复数根，因此，只需求出这两个根，不需解上述不等式。因此，由以下方程求得分离点和 会合点得 K ， (K3)  20K， K 217K9  02 14 14249  0.675，K 2  13.325  76.3246，K 1 K 2   0.675时，系统处于欠阻尼状态。 因此，当13.325  K1 4，已知单位反馈控制系统的开环传递函数为， G0(s)  k(s1) ， k≥0 s(s1)(s4) (1)画出该系统的根轨迹； (2)利用根轨迹图确定增益K的稳定范围。 1，－p 3＝－4 。开环零点－z1 1。实轴上解：(1)系统开环极点是，－p1＝0，－p2＝ 的根轨迹在极点p1和p2之间，－z1和－p3之间。  4011  1 2 2k 1 渐近线与实轴的夹角为， 1800900,2700 2 (2)从根轨迹图可以看出，当K较小的时候， 渐近线与实轴的交点为，F  根轨迹在右半平面变化，故系统的特征根在 右半平面，这时系统不稳定。当K大于某数 值时根轨迹进入左半平面，系统稳定。 K值可以由 Routh 判据求得。 系统的特征方程为， s(s1)(s4) K(s1)  0 s 3s (K 4)s K  0， 6 32 j -4-3-1 0 1  根据