空间几何体的内切球和外接球问题

. 空间几何体的内切球与外接球问题空间几何体的内切球与外接球问题 1． [2016·全国卷Ⅱ] 体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为() 32 A．12π B.π C．8π D．4π 3 [解析]A因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体的外接球 2 的半径为 3，所以球的表面积为 4π·( 3) ＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC， AB＝6，BC＝8，AA 1＝3，则 V的最大值是() 9π32π A．4π B. C．6π D. 23 [解析]B当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴8－r1＋6 －r1＝10，解得r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2， 339334 则 2r2＝3，即r2＝ .∴球的最大半径为 ，故V的最大值为 π× ＝ π. 22322 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形 ABCD 中，∠CBA＝120°，AD＝4，对角线 BD＝2 3，将 其沿对角线 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上，则该球 的体积为________． 20 5 答案：π；解析：因为∠CBA＝120°，所以∠DAB＝60°，在三角形ABD中，由余弦定 3 理得(2 3) ＝4 ＋AB－2×4·AB·cos 60°，解得AB＝2，所以AB⊥BD.折起后平面ABD⊥ 平面BCD，即有AB⊥平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶 22 点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC＝ 2 ＋4 ＝2 5， 20 5 所以球的体积为π. 3 222 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共 面，△ABC是边长为 2 的正三角形，平面SAB⊥平面 ABC，则棱锥SABC 的体积的最大值为 () 3 B. 3C．2 3D．4 3 选 A；[解析] (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根 据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC 的体积最大． 2232 3 因为△ABC是边长为 2 的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝ ××2＝. 3323 A. 13 在 Rt△SHO中，OH＝OC＝， 23 . . 所以SH＝ 2 3232 －＝1， 33 133 2 故所求体积的最大值为 ××2 ×1＝. 343 5.[2016·赣州模拟] 如图 73819 所示，设 A，B，C，D 为球 O 上四点，AB，AC，AD 两 两垂直，且 AB＝AC＝ 3，若 AD＝R(R 为球 O 的半径)，则球 O 的表面积为() 图 73819 A．πB．2πC．4πD．8π 选 D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所 2 示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝ 3，所以AE＝ 6，AD＝R，DE＝2R，则有R 22 ＋6＝(2R) ，解得R＝ 2，所以球的表面积S＝4πR＝8π. 6.[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示，已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D都在 球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD， 且AC＝ 3，BC＝2，CD＝ 5， 则球O的表面积为() A．12π B．7π C．9π D．8π [解析]A由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥ABCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长 22222 方体，设球O的半径为R，则有(2R) ＝AC＋BC＋CD＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR ＝12 π. 7．[2016·福建泉州质检] 已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°， 且点O到平面ABC的距离为 2，则球O的表面积为________． 答案： 20π[解析] 在△ABC 中用余弦定理求得 AC＝ 3， 据勾股定理得∠BAC为直角， 故 BC 的中点 O1即为△ABC 所在小圆的圆心， 则 OO1⊥平面 ABC，在直角三角形 OO1B 中可求得 2 球的半径 r＝ 5，则球 O 的表面积 S＝4πr ＝20π. 8. [2016·河南中原名校一联] 如图 K3816 所示，ABCDA1B1C1D1是边长为 1 的正方体， SABCD是高为 1 的正四棱锥，若点S，A 1，B1，C1，D1 在同一个球面上，则该球的表面积为 () . . 图 K3816 A. 9254981 π B.π C.π D.π 16161616 选 D；[解析] 如图所示作辅助线，易知球心O 在 SG1上，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x， 2 222 同时由正方体的性质知 B1G1＝，则在Rt△OB1G1中，由勾股定理得OB1＝G1B1＋OG1，即(2－ 2 7798122 222 x) ＝x ＋，解得 x＝ ，所以球的半径 R＝2－ ＝ ，所以球的表面积 S＝4πR ＝π. 888162 9．[2013·课标全国Ⅰ]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将 一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计 容器的厚度，则球的体积为() A. C. 500π 3 cm 3 1 372π 3 cm 3 B. D. 866π 3 cm 3 2 048π 3 cm 3 解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA . . 为直角三角形，如图． BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R， 由R＝(R－2) ＋4 ，得R＝5， 4500 33 所以球的体积为 π×5 ＝π(cm )，故选 A 项． 33 答案：A 222 10． 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3 2， 则这个四棱锥的外接球的表面积为() A．12πB．36πC．72πD．108π 选 B；解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 32×2＝6，高为 3 2 2 1 2 －×6＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3， 所以该四棱锥的外接球 2 2 的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于 4π×3 ＝ 36π. 11．[2014·石家庄质检一]已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的 距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为() A.64π 8π16π B. C．4π D. 339 . . 解析：如图，球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O′.由题意知OO1＝ ， 2 R OA＝R，其中R为球O的半径．在△ABC中， AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120° ＝  1 22 2 ＋2 －2×2×2×－＝2 3. 2 AC2 3 设△ABC的外