线性代数模拟试题一

线性代数模拟试题一线性代数模拟试题一 一、填空题（每小题2分，共50分） 1．若D D n n  a aij ija a, ,则D Dn n a aij ij(1)； 2x 2．在函数f x  x 1  x 2 1 x 中x3的系数是 (2) x1  x x 1 2x x2 x x3 2, ,  3．对于方程2x x1 x x2 3x x31, ,，其系数矩阵 A A=(3)；   x x  x x  x x  0. . 123  4．排列nn1n2321的逆序数等于(4)； 5．n 阶行列式共有（5）项，正负号由（6）决定. 6．对于行列式|A A|，当 i=j，时，a a k k1 n n ki ki A Akj kj（7）. 7．用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0 和（8） . 8．若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当（9）时， 方程组有无穷多解． 9．矩阵与行列式有本质的区别， 一个数字行列式经过计算可求得其值， 而 矩阵仅仅是（10），它的行数和列数可以不同. 10．只有当（11）时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 11．若 A A 方阵可逆，则|A A-1|=（12）. A A 1   12．对于分块对角阵A A     A A2     ，|A A|=（13）.   A As s   13．矩阵等价具有的三个性质为：反身性、（14）、传递性. 14. 矩阵的初等行变换包括（15）、r i k、 （16）三种. 15．把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，非0 行的行数就是矩阵的 秩，可逆矩阵的秩等于（17），故可逆矩阵又称为满秩矩阵 . 16．奇次线性方程组 AxAx=0，当（18）只有 0 解，非奇次线性方程组 Ax=bAx=b，当（19）有唯一解，当（20）没解. 17．用 mm 阶初等矩阵 E Em m(i i(k k))左乘矩阵 A A=(a aij ij)mmxn n，相当于对 A A 实施 （21） 变换. 18． x x( (x x 1, , x x 2, ,, , x x n n) ) a a 1 x x 1a a2 x x 2a an n x x n nb b 称为叫做 n n 维向量空 间中（22）. 19．向量组只包含一个向量a a 时，当（23）时该向量组线性相关. 20．矩阵的秩与向量组的秩的关系为：（24）. 21． 要证明某一向量组是方程组AXAX=0 的基础解系， 需要证明三个结论（: a） 该组向量都是方程组的解、 （b）（25）、 （c）方程组的任何一 个解都可以由该向量组线性表示. 二、计算题（每小题10分，共30分）  T T  1．计算行列式的值Dn1 x a 1  a 1  a 1 a 1 x a 2  a 2 a 2 a 2 x  a 3 a 3 a 3 a 3  a 4      a n a n a n .  x 2 1  0  12 .2．求下述矩阵的逆矩阵A  1 1 11   1  0 1  3．研究下列向量组的线性相关性12, 2 2 ,3 0 .  3 5 2   三、证明题（第1题10分，第2题10分） 1．用数学归纳法证明 Dn 1 x1 x12  x1n2 x1n 1 x2 2 x2  n2 x2 n x2 1 x3 2 x3    1 xn 2 xn  n2n2 x3xn nn x3xn 1 jin x 1  x 2  x n    x i  x j  ,n  2 2. 设是非齐次线性方程组AX  B的一个解,1,,nr是对应奇次方程组 AX  0的一个基础解系.证明: (1),1,,nr线性无关; (2),1,,nr是方程组AX  B的n  r 1个线性无关的解. (3)方程组AX  B的任一解X,都可以表示为这n  r 1个解的线性组合, 而且组合系数之和为1. 参考答案 一、填空题（每小题2分，共50分） (1)(1)na; (2)-2; 1 (3)2 2 1 1 1 3; 11 (4) nn 1 ; 2 (5)n!; (6) 下标排列的逆序数; (7) |A|; (8)方程组中未知数个数与方程个数相等； (9)r n； (10)数表； (11) 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时； (12)A； (13)A 1 A 2 A s ； (14)对称性； (15)r i  r j ； (16)r i kr j ； (17)阶数； (18)RA n； (19)RA R(B)  n； (20)RA R(B)； (21)第二种初等行变换r i k； (22)超平面； (23)  0； (24)相等； (25)向量组线性无关； 二、计算题（每小题10分，共30分） 1 1．计算行列式的值Dn1 x a 1  a 1  a 1 a 1 x a 2  a 2 a 2 a 2 x  a 3 a 3 a 3 a 3  a 4      a n a n a n .  x 解：将第2,3,,n1列都加到第一列，得： x a i x a i i1 n i1 n i1 n aa 12    a a a  n xa  2n D n1  x a i  x a i i1 n a  2 x n aa 23 x 提取第一列的公因子，得： 1 D n1  (x a i) 1 i1  1 n 1 aa xa a x 1 2 2 2       3 a a a . n n n  xaa 2 将第1列的(a 1)倍加到第2列，将第 1列的(a ２ )倍加到第3列，,将第1列的(a n)倍 加到最后一列，得 10 1 0  2 0 0 0  D n1  (x a i) 1 i1 1 n 10 xa a axa 21    a a aa 2132 x a n  (x a i) (xa i). i1i1 nn 2 1  0  2．求下述矩阵的逆矩阵A 112.  1 11  解：作分块矩阵(AE),施行初等行变换.   02110 0 r 11201 1  112010    ~ r 2    02110 1 11001   1 1100 r 112010 3 ~ r 1    0 21100    0 01011  r 11201 0 (2) 1 10012 2 ~ r 3   0111  r