考研数学一-199

考研数学一-199 (总分：150.00，做题时间：90 分钟) 一、选择题(总题数：8，分数：32.00) 1.下列函数 中在点 x=0 处可导的共有 A．1 个. B．2 个. C．3 个. D．4 个. （分数：4.00） A. B.√ C. D. 解析：按定义分析，即分析 ①由 ②由 ③由 ④由 因此选 B. 1°以上的极限运算中利用了等价无穷小因子替换：，sinx～z(x→0). 在点 x=0 处可导 在点 x=0 处不可导. 在点 x=0 处可导 在点 x=0 处不可导. 的存在性，并要逐一分析. 2°这几个函数作为复合函数是可导函数与不可导函数的复合，或不可导函数与可导函数的复合，因此不能 用复合函数求导法则来讨论， 如①中， g(u)=eosu与 可导，复合结果 2.曲线 （分数：4.00） A. B. C. D.√ 解析：先求出 y′与 y″. 的复合， u=在x=O处不可导， 而g(u)在 复合结果在 x=0 处不可导.在 x=0 处可导又如②中，g(u)=sinu 与 的拐点的个数为 A．0. B．1. C．2. D．3. 由在(-∞，+∞)连续，且在两侧 y″变号，x=0 两侧也变号(0，0)，均为的 拐点，再无其他拐点.因此，选 D. 在 x=0，均不可导，但连续，拐点判别则有效. 3.有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 γ，则液体对薄板的侧压力为 A． C． （分数：4.00） A. B.√ C. D. 解析：取坐标系如图所示，椭圆方程为 液体对它的压力 于是液体对薄板的侧压力为 故应选 B. 4.设 F(x，y)在点(x 0，y0)某邻域有连续的偏导数，F(x0，y0)=0，则 A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 （分数：4.00） A. B.√ C. D. 解析：由隐函数定理知，在题设条件下，是方程 F(x，y)=0 在点(x 0，y0)某邻域能确定一个连 3 B． D． 对小区间[x，x+dx]对应的小横条薄板， 是 F(x，y)=0 在点(x 0，y0)某邻域 能确定一个连续函数 y=y(x)，它满足 y 0=y(x0)，并有连续的导数的______条件. 续函数 y=y(x)，满足 y 0=y(x0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件. 如 F(x，y)=x -xy，F(0，0) =0， ，但 F(x，y)=0 确定函数 y=x (满足 y(0)=0). 因此选 B. 2 5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A．A+E. B．A-E. C．A+2E. D．2A+E. （分数：4.00） A. B. C. D.√ 解析：由于， 故 A 可逆的特征值不为 0. 由 A 的特征值为 1， -1， -2， 可知 2A+E 的特征值为 3， -1，-3. 所以 2A+E 可逆. 故选 D. 6.n 维向量组(Ⅰ)：α 1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是 A．秩 r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且 s=t. B．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n. C．向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价. D．向量组(Ⅰ)线性无关，向量组(Ⅱ)线性无关且 s=t. （分数：4.00） A. B. C.√ D. 解析：向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关. 例如： 向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价； 向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同， 故 A 不正确. r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n 是向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价的充分条件，不必要. 例如，向量组(1，0，0)，(0，1， 0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为 n. 故 B 不正确.向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅰ)的极大无关组 等价，向量组(Ⅱ)与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价，如果向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无 关组等价，由等价的传递性自然有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价，反之亦对，故 C 正确，应选 C. 注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故 D 不正确. 7.已知随机变量，且 X 1与 X2独立. 记 A=X1=1，B=X2=1，C1=X1X2=1，C2=X1X2=-1，则 A．A，B，C 1相互独立，A，B，C2相互独立. B．A，B，C1相互独立，A，B，C2两两独立. C．A，B，C 1两两独立，A，B，C2相互独立. D．A，B，C1两两独立，A，B，C2两两独立. （分数：4.00） A. B. C. D.√ 解析：由题设条件计算得 P(A)=P(B)=P(G 1)=P(C2)=0.5， P(A)P(B)P(C 1)=0.125=P(A)P(B)P(C2)， P(AB)=P(AC 1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0.25， P(ABC 1)=0.25，P(ABC2)=0， 由此验证知 D 正确，应选 D. 要注意区别相互独立与两两独立的概念，称三个事件 A，B，C 相互独立，如果它们满足下面 4 个等式： ①P(AB)=P(A)P(B)； ②P(AC)=P(A)P(C)； ③P(BC)=P(B)P(C)； ④P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 如果，A，B，C 仅满足以上前 3 个等式，则称它们为两两独立. 8.设随机变量 X i～B(i，0.1)，i=1，2，…，15，且 X1，X2，…，X15相互独立，根据切比雪夫不等式. 则 的值 A．≥0.325. B．≤0.325. C．≥0.675. D．≤0.675. （分数：4.00） A.√ B. C. D. 解析：由题设知 EX i=0.1i，DXi=0.09i，i=1，2，…，15，则 于是由切比雪夫不等式，有 故选(A). 二、填空题(总题数：6，分数：24.00) 9.曲线 （分数：4.00） 填空项 1:__________________（正确答案：x=0， 解析：只有间断点 x=0， 渐近线 x=0. 再求 又 或 于是有斜渐近线 3 的全部渐近线方程是______. ） ，于是有垂直 其中 2210.微分方程 2x y′=y(2x -y )的通解是______. （分数：4.00） 填空项 1:__________________（正确答案： 解析：这是齐次方程. 原方程变形为 令，则 ，即 ，其中 C≠0 为 22 ，其中 C≠0 为常数，） ，即 分离变量得 积分得 因此，通解为 （分数：4.00） 常数. 11.设 Ω 是由曲面 y +z =1，|x+y|=1，|x-y|=1 围成，则 Ω 的体积 V=______. 填空项 1:__________________（正确答案： 为 Ω 的体积 ） 解析：Ω 在 xOy 平面上的投影区域 D xy是由 xOy 平面上的曲线|x+y|=1 与|x-y|=1 围成，见图. 于是 Ω 表示 D xy在第一象限部分记为 D1，由对称性得 其中 D