考研数学一-199

考研数学一-199 总分150.00，做题时间90 分钟 一、选择题总题数8，分数32.00 1.下列函数 中在点 x0 处可导的共有 A．1 个. B．2 个. C．3 个. D．4 个. （分数4.00） A. B.√ C. D. 解析按定义分析，即分析 ①由 ②由 ③由 ④由 因此选 B. 1以上的极限运算中利用了等价无穷小因子替换，sinx～zx→0. 在点 x0 处可导 在点 x0 处不可导. 在点 x0 处可导 在点 x0 处不可导. 的存在性，并要逐一分析. 2这几个函数作为复合函数是可导函数与不可导函数的复合，或不可导函数与可导函数的复合，因此不能 用复合函数求导法则来讨论， 如①中， gueosu与 可导，复合结果 2.曲线 （分数4.00） A. B. C. D.√ 解析先求出 y′与 y″. 的复合， u在xO处不可导， 而gu在 复合结果在 x0 处不可导.在 x0 处可导又如②中，gusinu 与 的拐点的个数为 A．0. B．1. C．2. D．3. 由在-∞，∞连续，且在两侧 y″变号，x0 两侧也变号0，0，均为的 拐点，再无其他拐点.因此，选 D. 在 x0，均不可导，但连续，拐点判别则有效. 3.有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 γ，则液体对薄板的侧压力为 A． C． （分数4.00） A. B.√ C. D. 解析取坐标系如图所示，椭圆方程为 液体对它的压力 于是液体对薄板的侧压力为 故应选 B. 4.设 Fx，y在点x 0，y0某邻域有连续的偏导数，Fx0，y00，则 A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 （分数4.00） A. B.√ C. D. 解析由隐函数定理知，在题设条件下，是方程 Fx，y0 在点x 0，y0某邻域能确定一个连 3 B． D． 对小区间[x，xdx]对应的小横条薄板， 是 Fx，y0 在点x 0，y0某邻域 能确定一个连续函数 yyx，它满足 y 0yx0，并有连续的导数的______条件. 续函数 yyx，满足 y 0yx0并有连续导数的充分条件，但不是必要条件. 如 Fx，yx -xy，F0，0 0， ，但 Fx，y0 确定函数 yx 满足 y00. 因此选 B. 2 5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A．AE. B．A-E. C．A2E. D．2AE. （分数4.00） A. B. C. D.√ 解析由于， 故 A 可逆的特征值不为 0. 由 A 的特征值为 1， -1， -2， 可知 2AE 的特征值为 3， -1，-3. 所以 2AE 可逆. 故选 D. 6.n 维向量组Ⅰα 1，α2，，αs和向量组Ⅱβ1，β2，，βt等价的充分必要条件是 A．秩 rⅠrⅡ且 st. B．rⅠrⅡn. C．向量组Ⅰ的极大无关组与向量组Ⅱ的极大无关组等价. D．向量组Ⅰ线性无关，向量组Ⅱ线性无关且 st. （分数4.00） A. B. C.√ D. 解析向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关. 例如 向量组1，0，0，2，0，0与向量组0，1，0，0，2，0的秩相等，但它们不等价； 向量组1，0，0，2，0，0与向量组3，0，0等价，但向量个数不同， 故 A 不正确. rⅠrⅡn 是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的充分条件，不必要. 例如，向量组1，0，0，0，1， 0与向量组2，0，0，0，2，0等价，但秩不为 n. 故 B 不正确.向量组Ⅰ与向量组Ⅰ的极大无关组 等价，向量组Ⅱ与向量组Ⅱ的极大无关组等价，如果向量组Ⅰ的极大无关组与向量组Ⅱ的极大无 关组等价，由等价的传递性自然有向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，反之亦对，故 C 正确，应选 C. 注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故 D 不正确. 7.已知随机变量，且 X 1与 X2独立. 记 AX11，BX21，C1X1X21，C2X1X2-1，则 A．A，B，C 1相互独立，A，B，C2相互独立. B．A，B，C1相互独立，A，B，C2两两独立. C．A，B，C 1两两独立，A，B，C2相互独立. D．A，B，C1两两独立，A，B，C2两两独立. （分数4.00） A. B. C. D.√ 解析由题设条件计算得 PAPBPG 1PC20.5， PAPBPC 10.125PAPBPC2， PABPAC 1PBC1PAC2PBC20.25， PABC 10.25，PABC20， 由此验证知 D 正确，应选 D. 要注意区别相互独立与两两独立的概念，称三个事件 A，B，C 相互独立，如果它们满足下面 4 个等式 ①PABPAPB； ②PACPAPC； ③PBCPBPC； ④PABCPAPBPC. 如果，A，B，C 仅满足以上前 3 个等式，则称它们为两两独立. 8.设随机变量 X i～Bi，0.1，i1，2，，15，且 X1，X2，，X15相互独立，根据切比雪夫不等式. 则 的值 A．≥0.325. B．≤0.325. C．≥0.675. D．≤0.675. （分数4.00） A.√ B. C. D. 解析由题设知 EX i0.1i，DXi0.09i，i1，2，，15，则 于是由切比雪夫不等式，有 故选A. 二、填空题总题数6，分数24.00 9.曲线 （分数4.00） 填空项 1__________________（正确答案x0， 解析只有间断点 x0， 渐近线 x0. 再求 又 或 于是有斜渐近线 3 的全部渐近线方程是______. ） ，于是有垂直 其中 2210.微分方程 2x y′y2x -y 的通解是______. （分数4.00） 填空项 1__________________（正确答案 解析这是齐次方程. 原方程变形为 令，则 ，即 ，其中 C≠0 为 22 ，其中 C≠0 为常数，） ，即 分离变量得 积分得 因此，通解为 （分数4.00） 常数. 11.设 Ω 是由曲面 y z 1，|xy|1，|x-y|1 围成，则 Ω 的体积 V______. 填空项 1__________________（正确答案 为 Ω 的体积 ） 解析Ω 在 xOy 平面上的投影区域 D xy是由 xOy 平面上的曲线|xy|1 与|x-y|1 围成，见图. 于是 Ω 表示 D xy在第一象限部分记为 D1，由对称性得 其中 D