等腰三角形和最短路径

等腰三角形和最短路径等腰三角形和最短路径 温故知新温故知新 1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 MN 轴对称，则以下结论中错误的是（） A．AB∥DFB．∠B=∠EC．AB=DED．AD 的连线被 MN 垂直平分 3．如图，在△ ABC 中，AB=14 厘米，BC=9 厘米，E 为 AC 的中点，DE⊥AC，则△ BDC 的周长是（） A．23 厘米B．16 厘米C．19 厘米D．无法确定 4．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点 A、B、C 都是格点． （1）画出△ ABC 关于直线 BM 对称的△ A1B1C1； （2）写出 AA1的长度． 1 课前热身课前热身 一、等腰三角形性质与判定 1、 一个三角形有两条边相等， 这个三角形一边等于5cm， 一边等于 10cm， 则另一边等于 （） A．5cmB．10cmC．15．12cm 2、如图所示，在△ ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 垂足为 D，∠A=40°，∠DBC=（） A．40°B．30°C．20°D．50° 3、下列条件中，不能得到等边三角形的是（） A．有两个内角是 60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是 60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2 4、 已知 a、 b、 c 是三角形的三边长， 且满足 （a﹣b）+|b﹣c|=0， 那么这个三角形一定是 （） A．直角三角形 C．钝角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形 5、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 6、在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则 BC 边的长为（） A．6 cmB．12 cmC．24 ．无法确定 二、最短路径问题 7、如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10．在 OA 上有一点 Q，OB 上有一 点 R．若△ PQR 周长最小，则最小周长是． 8、要在燃气管道 L 上修建一个泵站 P，分别向 A，B 两镇供气， 泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？在图上画出P 点位置，保留作图痕迹． 2 遗漏分析遗漏分析 1、等腰三角形 ①等腰三角形的性质 ②等边三角形的性质与判定 2、最短路径问题 知识精讲知识精讲 精讲一精讲一 等腰三角形等腰三角形 三角形底边和腰不相等的等腰 分类：等腰三角形等边三角形  一、等腰三角形一、等腰三角形 1、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2、性质（如图 1）: 性质 1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”） ； 性质 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成“三线合一三线合一”） ； （1）B  C  AB  AC， （2）AD 是 BC 边上的高，也是∠BAC 的角平分线， 也是线段 BC 的中线。 图 1 3、判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角等角 对等边对等边”） ； 例 1-1、一个三角形有两条边相等， 这个三角形一边等于 5cm，一边等于10cm，则另一边等 于（） A．5cmB．10cmC．15．12cm 3 1-2、如图所示，在△ ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 垂足为 D，∠A=40°，∠DBC=（） A．40°B．30°C．20°D．50° 二、等边三角形二、等边三角形 1、概念：等边三角形就是三边都相等的特殊的等腰三角形； 2、等边三角形的性质和判定方法： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 例 2-1、下列条件中，不能得到等边三角形的是（） A．有两个内角是 60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是 60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2-2、已知 a、b、c 是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是 （） A．直角三角形 C．钝角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形 2-3、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 2-4、在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则 BC 边的长为（） A．6 cmB．12 cmC．24 ．无法确定 精讲二精讲二 最短路径问题最短路径问题 1、根据“两点的所有连线中，线段最短”“连直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。 2、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决 4 的问题，从而做出最短路径的选择。 例 3-1、如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10．在 OA 上有一点 Q，OB 上 有一点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是． 3-2、如图,要在公路 MN 旁修建一个货物中转站P,分别向 A、B 两个开发区运货. (1)若要求货站到 A、B 两个开发区的距离相等,那么货站应建在那里? (2)若要求货站到 A、B 两个开发区的距离和最小,那么货站应建在那里? 巩固练习巩固练习 1、等腰三角形两条边长分别为12、15，则这个三角形的周长为（） A．27B．39C．42D．39 或 42 2、以下叙述中不正确的是（） A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B．有一内角为 60°的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角 不相等，那么它们所对的边也不相等 3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD 分别表示一楼、二楼地 面的水平线， ∠ABC=150°， BC 的长是 8m， 则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 （） A．mB．4 mC．4mD．8 m 5 4、等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（） A．50°B．80°C．50°或 80°D．20°或 80° 5、如下图所示，D 为 BC 上一点，且 AB=AC=BD，则图中∠1 与∠2 的关系是（） A.∠1=2∠2B．∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180° 6、如图，已知等边△ AEB 和等边△ BDC 在线段 AC 同侧，则下面错误的是（） A．△ ABD≌△EBCB．△ NBC≌△MBDC．DM=DC D．∠ABD=∠EBC 7、等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为． 8、如图，在△ ABC 中，AB=AC=4，∠C=72°，D 是 AB 的中点，点 E 在 AC 上，DE⊥AB， 则∠ABE