电磁感应中的杆+导轨类问题大模型解题技巧

辅辅 导导 2 2 3 3 ：： 电电 磁磁 感感 应应 中中 的的 ““ 杆杆 ＋＋ 导导 轨轨 ”” 类类 问问 题题 ( ( 3 3 大大 模模 型型 ) ) 解解 题题 技技 巧巧 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功 和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三 种观点出发，分角度讨论如下： 类型一：单杆类型一：单杆+ +电阻电阻+ +导轨模型类导轨模型类 【初建模型初建模型】 【例题例题 1 1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为 L 的两条足够长的光滑平行金属导轨 MN、 PQ 与水平面的夹角为 θ，N、Q 两点间接有阻值为 R 的电阻。整个 装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向 下。将质量为 m、阻值也为 R 的金属杆 cd 垂直放在导轨上，杆 cd 由静止释放，下滑距离 x 时达到最大速度。重力加速度为 g，导轨电 阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆 cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨思路点拨】 ： 2mgRsin θ1 【答案答案】 ： (1)gsin θ， 方向沿导轨平面向下； B2L2 ， 方向沿导轨平面向下； (2)2mgxsinθ m3g2R2sin2θ － B4L4 【解析解析】 ：(1)设杆 cd 下滑到某位置时速度为 v，则杆产生的感应电动势 E＝BLv 回路中的感应电流 I＝ R＋R E 杆所受的安培力 F＝BIL B2L2v 根据牛顿第二定律有 mgsinθ－ 2R ＝ma 当速度 v＝0 时，杆的加速度最大，最大加速度 a＝gsin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度 a＝0 时，速度最大，最大速度 vm＝2mgRsin θ B2L2 ，方向沿导轨平面向下。 1 (2)杆 cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得 mgxsinθ＝Q 总＋2mvm2 11m3g2R2sin2θ 又 Q 杆＝2Q总，所以 Q杆＝2mgxsin θ－ 。 B4L4 【内化模型内化模型】 单杆单杆+ +电阻电阻+ +导轨四种题型剖析导轨四种题型剖析 题型一(v0≠0) 杆 cd 以一定初速 度 v0在光滑水平 说明 题型二(v0＝0) 轨道水平光滑， 杆 cd 质量为 m，电倾斜轨道光滑，倾角 两导轨间距为 L 竖直轨道光滑， 两导轨间距为 L 题型三(v0＝0)题型四(v0＝0) 轨道上滑动，质量阻不计， 两导轨间为α， 杆cd质量为m， 杆 cd 质量为 m， 为 m，电阻不计，距为 L， 拉力 F 恒 两导轨间距为 L定 示意图 杆以速度 v 切割磁 力学观 点 F 开始时 a＝g，杆 感线产生感应电 开始时 a＝m，杆 开始时 a＝gsin α， 杆 cd 速度 v↑⇒感应 动势 E＝BLv，电 cd 速度 v↑⇒感应 cd 速度 v↑⇒感应电 电动势 E＝ BLv 电动势 E＝ 动势 E＝BLv↑⇒I↑⇒流 I＝ R ， 安培力 BLv↑⇒I↑⇒安培 BLv↑⇒I↑⇒安培力 安培力 F 安＝BIL↑，B2L2v 由 F＝BIL＝ R 。 杆 F 安＝BIL↑，由 F 由 mgsin α－F ＝ma 力 F 安＝BIL↑， 安 mg－F 安＝ma 知－F ＝ma 知 a↓， 安 知 a↓，当 a＝0 时，v做减速运动： a↓，当 a＝0 时， 当 a＝0 时，v 最 mgRsin α v↓⇒F↓⇒a↓，当 v 最大，vm＝ B2L2 mgR FR v 最大，v ＝ m ＝0 时，a＝0，杆 B2L2大，vm＝B2L2 保持静止 图像观 点 F 做的功一部分 能量观 点 动能全部转化为 1 内能：Q＝2mv02 重力做的功(或减少 重力做的功(或减 少的重力势能)一 部分转化为杆的 转化为杆的动能， 的重力势能)一部分 一部分转化为内转化为杆的动能，一 1 能：WF＝Q＋2 mvm2 动能，一部分转 部分转化为内能： WG 化为内能：WG＝ 1 ＝Q＋2mvm21 Q＋2mvm2 【应用模型应用模型】 【变式变式】 ：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为 μ。现用沿导轨平面向上的恒定 外力 F 作用在金属杆 cd 上，使 cd 由静止开始沿导轨向上运动，求 cd 的最大加速度和最大速 度。 【答案答案】 ：见解析 【解析解析】 ： 分析金属杆运动时的受力情况可知， 金属杆受重力、 导轨平面的支持力、 拉力、 摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F－mgsinθ－F 安－f＝ma EBLvB2L2v 又 F 安＝BIL，I＝ ＝，所以 F 安＝BIL＝ R＋RR＋RR＋R f＝μN＝μmgcosθ B2L2v 故 F－mgsinθ－－μmgcosθ＝ma R＋R F 当速度 v＝0 时，杆的加速度最大，最大加速度am＝m－gsinθ－μgcosθ，方向沿导轨平面 向上 当杆的加速度 a＝0 时，速度最大，vm＝ (F  mgsinmgcos)2R 。 22B L 类型二：单杆类型二：单杆+ +电容器电容器( (或电源或电源)+)+导轨模型类导轨模型类 【初建模型初建模型】 【例题例题 2 2】(2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两 根足够长的平行光滑金属轨道 MN、PQ 固定在水平面内，相距为 L。一质量为 m 的导体棒 cd 垂直于 MN、PQ 放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 (1)如图 1 所示，若轨道左端 M、P 间接一阻值为 R 的电阻，导体棒在拉力F 的作用下以 速度 v 沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δ t 内，拉力F 所做的功与 电路获得的电能相等。 (2)如图 2 所示，若轨道左端接一电动势为 E、内阻为 r 的电源和一阻值未知的电阻，闭 合开关 S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度 vm，求此时电源 的输出功率。 (3)如图 3 所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为 C，导体棒在水平拉力的作用 下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图 4 所示，已知 t1时刻 电容器两极板间的电势差为 U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 【思路点拨思路点拨】 ： (1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势→ 产生感应电流→求出回路的电能。 (2)闭合开关 S→导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压 →棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。 (3)导体棒在外力作用下运动 →回路中形成充电电流 →导体棒还受安培力的作用 →由牛 顿第二定律列式分析。 【答案答案】 ：见解析 【解析解析】 ：(1)导体棒切割磁感线，E＝BLv E 导体棒做匀速运动，F＝F 安，又 F安＝BIL，其中 I＝R B2L2v2 在任意一段时间 Δt 内，拉力 F 所做的功 W＝FvΔt＝F 安 vΔt＝ R Δt B2L2v2 电路获得的电能 ΔE＝q