绝对值函数和绝对值不等式

绝绝对对值值函函数数和和绝绝对对值值不不等等式式 【知识点】 一、绝对值的性质一、绝对值的性质 1 1. .| |a a|= |= 推论①：推论①：| |abab| |≥≥abab( (当且仅当当且仅当 abab≥≥0 0 时，“时，“= =”成立”成立) )；； 推论②：推论②：| |abab| |≥－≥－abab( (当且仅当当且仅当 abab≤≤0 0 时，“时，“= =”成立”成立) ). . 2 2. .| |a a| |2 2= =a a2 2；； 二、绝对值不等式二、绝对值不等式 3 3. .若若 a a2 2≥≥b b2 2，则，则| |a a| |≥≥| |b b| |；； 证明：由性质 2，a2≥b2|a|2≥|b|2|a|≥|b|. 4 4. .| |a a| |≥≥a a，，( (当且仅当当且仅当 a a≥≥0 0 时等号成立时等号成立) )；； 推论③：推论③：| |abab| |≥≥abab. . 推论④：推论④：|| ||a a| |－－| |b b|| ||≤≤| |a a±±b b| |≤≤| |a a|+||+|b b| |. . 证明：(1)||a|－|b||≤|a－b|： 因为|ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性质 2，则：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性质 3 即证. 此时，当且仅当 ab≥0 时等号成立. (2)||a|－|b||≤|a+b|. 证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2， 由性质 2 即证.此时，“=”成立的条件为 ab≤0. (3)由 2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性质 2 即证.等号成立的条件为 ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为 ab≤0. 推论⑤：推论⑤：| |a a1 1+ +a a2 2+ +……+ +a an n| |≤≤| |a a1 1|+||+|a a2 2|+ |+……+| +|a an n| |. . 证明：当 n=2 时，显然成立； 设当 n=k 时，有：|a1+a2+…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|； 则当 n=k+1 时，|a1+a2+…+ak+ak+1|=|(a1+a2+…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤ |a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|. 推论⑥：推论⑥：| |a a|+||+|b b|=||=|a a|+||+|b b|=max{||=max{|a a+ +b b| |，，| |a a－－b b|} |}. . 证明：若 ab≥0，显然有|a|+|b|=|a+b|， 且此时：|a+b|≥|a－b|，所以：|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}； ab0)是 将函数 g(x)的图像 向左平移l个单位所 得到.这种图象的平 移要重视， 比如已知 f(x)为 R 上的奇函 数，当 x0 时， f(x)= (|x－a2|+|x － 2a2|－3a2)，若对任 意的实数 x∈R 都有 f(x－1)≤f(x)，则实 数 a 的取值范围为. 【例题 14】【浙江省2016 年高考，15】已知向量，满足： 这一道题的解法比 ||=1，||=2，若对任意的单位向量，都有|·|+|·|≤，则·的较多， 唯独用绝对值 最大值是.不等式比较简便： 由 2(a a2+b b2)=10，而 |+|≤ |·|+|·|≤， 而 4a a·b b=(a a+b b)2－(a a －b b)2即可解出答 案. 【例题 15】【2014 年安徽预赛】已知复数 z 满足≤2，则设|z|=r，则 |z|的取值范围是.≤2，考虑其意义是 什么 【例题 16】【浙江省 2015 年高考，18】已知函数注意基本不等式： f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，记 M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]min{a，b}≤≤≤≤ 上的最大值. (1)证明：当|a|≥2 时，M(a，b)≥2； (2)当 a，b 满足 M(a，b)≤2 时，求|a|+|b|的最大值. 【例题 17】【2014 年河北预赛，6】已知对 x∈[0，1]，令 f(x)=ax+b，则 都有|ax+b|≤1，则|bx+a|的最大值为. 【例题 18】【2018 年浙江省预赛，12】设 a∈R，且对任此题的解法比较多， 意实数 b 均有 |x2+ax+b|≥1， 求 a 的取值范围. 【例题 19】【2017 年全国联赛，9】设 k、m 为实数，不 等式 |x2－kx－m|≤1 对所有 x∈[a，b]成立.证明：b－a≤2. 【过关习题【过关习题 4 4】】 1.【2018 年学考选考十校联盟，】已知 a，b 是实数，则“|a|≤1 且|b|≤1” 是“|a+b|+|a－b|≤2”的. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.【2018 年绍兴高三适应性考试，，】已知 a0，函数 f(x)=|x2+|x－a|－3| 在区间[－1，1]上的最大值是 2，则 a=. 应用绝对值不等式 是最简的解法. f(0)=b， a=f(1)－f(0). max{a，b}. 3.【2018 年温州二模，17，，】已知 f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1 在[1，2]上 恒成立，则实数 a 的最大值为. 4.【2017 年绍兴诸暨二模，，】已知函数 f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c] 内的最大值为 M(a，b∈R，c0 为常数)且存在实数 a，b，使得 M 取最小值 2， 则 a+b+c=. 5.【】设正实数 x，y，则|x－y|+的最小值为. 6.【2017 年杭州二模，10，】设函数 f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为 x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则. A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤2 7.【2017 年浙江 4 月份学考，】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为. 8.【2017 年浙江绍兴市柯桥中学 5 月质检，8，】已知 x，y∈R，则. A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则 B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则 C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则 D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则 9.【2016 年浙江高考，8，】已知实数 a、b、c，下面四个选项中正确的 是. A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则 a2+b2+c2f(t)－f(－t) B.存在 t0，|f(t)－f(－t)|≥f(t)－f(－t) C.存在 t0，|f(1+t)+f(1－t)|f(1+t)+f(1－t) D.存在 t0，|f(1+t)－f(1－t)|f(1+t)－f(1－t) 41.【浙江省 2016 届高三下学期第二次五校联考(理)，18，】已知函数 f(x)=ax2+bx+c， g(x)=c|x|+bx+a，对任意 x∈[－1，1]，|f(x)|≤. (I)求|f