绝对值函数和绝对值不等式

绝绝对对值值函函数数和和绝绝对对值值不不等等式式 【知识点】 一、绝对值的性质一、绝对值的性质 1 1. .| |a a| | 推论①推论①| |abab| |≥≥abab 当且仅当当且仅当 abab≥≥0 0 时，“时，“ ”成立”成立 ；； 推论②推论②| |abab| |≥－≥－abab 当且仅当当且仅当 abab≤≤0 0 时，“时，“ ”成立”成立 . . 2 2. .| |a a| |2 2 a a2 2；； 二、绝对值不等式二、绝对值不等式 3 3. .若若 a a2 2≥≥b b2 2，则，则| |a a| |≥≥| |b b| |；； 证明由性质 2，a2≥b2|a|2≥|b|2|a|≥|b|. 4 4. .| |a a| |≥≥a a，， 当且仅当当且仅当 a a≥≥0 0 时等号成立时等号成立 ；； 推论③推论③| |abab| |≥≥abab. . 推论④推论④|| ||a a| |－－| |b b|| ||≤≤| |a ab b| |≤≤| |a a||||b b| |. . 证明1||a|－|b||≤|a－b| 因为|ab|≥ab，所以－2|ab|≤－2ab，所以a2b2－2|ab|≤a2b2－2ab，由性质 2，则|a|－|b|2≤a－b2，由性质 3 即证. 此时，当且仅当 ab≥0 时等号成立. 2||a|－|b||≤|ab|. 证明由推论②|ab|≥－ab，所以－2|ab|≤2ab，从而|a|－|b|2≤ab2， 由性质 2 即证.此时，“”成立的条件为 ab≤0. 3由 2ab≤2|ab|2|a||b|，则ab2≤|a||b|2，由性质 2 即证.等号成立的条件为 ab≥0.同理可证|a－b|≤|a||b|.等号成立的条件为 ab≤0. 推论⑤推论⑤| |a a1 1 a a2 2 a an n| |≤≤| |a a1 1||||a a2 2| || |a an n| |. . 证明当 n2 时，显然成立； 设当 nk 时，有|a1a2ak|≤|a1||a2||ak|； 则当 nk1 时，|a1a2akak1||a1a2akak1|≤|a1a2ak||ak1|≤ |a1||a2||ak||ak1|. 推论⑥推论⑥| |a a||||b b||||a a||||b b|max{||max{|a a b b| |，，| |a a－－b b|} |}. . 证明若 ab≥0，显然有|a||b||ab|， 且此时|ab|≥|a－b|，所以|a||b|max{|ab|，|a－b|}； ab0是 将函数 gx的图像 向左平移l个单位所 得到.这种图象的平 移要重视， 比如已知 fx为 R 上的奇函 数，当 x0 时， fx |x－a2||x － 2a2|－3a2，若对任 意的实数 x∈R 都有 fx－1≤fx，则实 数 a 的取值范围为. 【例题 14】【浙江省2016 年高考，15】已知向量，满足 这一道题的解法比 ||1，||2，若对任意的单位向量，都有||||≤，则的较多， 唯独用绝对值 最大值是.不等式比较简便 由 2a a2b b210，而 ||≤ ||||≤， 而 4a ab ba ab b2－a a －b b2即可解出答 案. 【例题 15】【2014 年安徽预赛】已知复数 z 满足≤2，则设|z|r，则 |z|的取值范围是.≤2，考虑其意义是 什么 【例题 16】【浙江省 2015 年高考，18】已知函数注意基本不等式 fxx2axba，b∈R，记 Ma，b是|fx|在区间[－1，1]min{a，b}≤≤≤≤ 上的最大值. 1证明当|a|≥2 时，Ma，b≥2； 2当 a，b 满足 Ma，b≤2 时，求|a||b|的最大值. 【例题 17】【2014 年河北预赛，6】已知对 x∈[0，1]，令 fxaxb，则 都有|axb|≤1，则|bxa|的最大值为. 【例题 18】【2018 年浙江省预赛，12】设 a∈R，且对任此题的解法比较多， 意实数 b 均有 |x2axb|≥1， 求 a 的取值范围. 【例题 19】【2017 年全国联赛，9】设 k、m 为实数，不 等式 |x2－kx－m|≤1 对所有 x∈[a，b]成立.证明b－a≤2. 【过关习题【过关习题 4 4】】 1.【2018 年学考选考十校联盟，】已知 a，b 是实数，则“|a|≤1 且|b|≤1” 是“|ab||a－b|≤2”的. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.【2018 年绍兴高三适应性考试，，】已知 a0，函数 fx|x2|x－a|－3| 在区间[－1，1]上的最大值是 2，则 a. 应用绝对值不等式 是最简的解法. f0b， af1－f0. max{a，b}. 3.【2018 年温州二模，17，，】已知 fxx2－ax，|ffx|≤1 在[1，2]上 恒成立，则实数 a 的最大值为. 4.【2017 年绍兴诸暨二模，，】已知函数 fx|x2axb|在区间[0，c] 内的最大值为 Ma，b∈R，c0 为常数且存在实数 a，b，使得 M 取最小值 2， 则 abc. 5.【】设正实数 x，y，则|x－y|的最小值为. 6.【2017 年杭州二模，10，】设函数 fxx2axba、b∈R的两个零点为 x1、x2，若|x1||x2|≤2，则. A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a2b|≥2D.|a2b|≤2 7.【2017 年浙江 4 月份学考，】已知a，b∈R，a≠1，则|ab|的最小值为. 8.【2017 年浙江绍兴市柯桥中学 5 月质检，8，】已知 x，y∈R，则. A.若|x2y||x－y2|≤1，则 B.若|x2－y||x－y2|≤1，则 C.若|xy2||x2－y|≤1，则 D.若|xy2||x2y|≤1，则 9.【2016 年浙江高考，8，】已知实数 a、b、c，下面四个选项中正确的 是. A.若|a2bc||ab2c|≤1，则 a2b2c2ft－f－t B.存在 t0，|ft－f－t|≥ft－f－t C.存在 t0，|f1tf1－t|f1tf1－t D.存在 t0，|f1t－f1－t|f1t－f1－t 41.【浙江省 2016 届高三下学期第二次五校联考理，18，】已知函数 fxax2bxc， gxc|x|bxa，对任意 x∈[－1，1]，|fx|≤. I求|f