概率论与数理统计总结讲解

第一章 随机事件与概率 第一节随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间： 随机现象的一切可能基本结果组成的集合， 记为 Ω={ω},其中 ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母 A、B、C 等表 示，Ω 表示必然事件， ∅ 表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1）用集合表示，这是最基本形式 （2）用准确的语言表示 （3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （（1 1）包含关系）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事 件 B 发生，则称 A 被包含于 B，记为 A⊂B; （2）相等关系相等关系：若 A⊂B 且 B⊃ A，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A＝B。 （3）互不相容互不相容：如果 A∩B=∅，即 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互不相容 7、事件运算 （（1 1）事件）事件 A A 与与 B B 的并的并：事件 A 与事件 B 至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件事件 A A 与与 B B 的交的交：事件 A 与事件 B 同时发生，记为 A∩ B 或 AB。 （3）事件事件 A A 对对 B B 的差的差：事件 A 发生而事件 B 不发生,记为 A－B。用交并补可以 表示为A B  AB。 （4）对立事件对立事件：事件 A 的对立事件（逆事件） ，即 “A 不发生”，记为A。 对立事件的性质：A B  , A B  。 8、事件运算性质：设 A，B，C 为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、 A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则） ：A B  A B A B  A B 9、事件域：含有必然事件 Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为 σ 代数。具体说，事件域ξ 满足： （1）Ω∈ξ; (2)若 A∈ξ，则对立事件A∈ξ； （3）若 An∈ξ，n=1,2， · · · ，则可列并 An n1  ξ 。 10、两个常用的事件域： （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； 2 （2）连续样本空间（如 R、R 等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步 扩展而成的事件域。 第二节 概率的定义及其确定方法 1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ 上的一个实值函数 P（A）满足： （1）非负性公理：若 A∈ξ，则 P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1 （3）可列可加性公理：若A,，A2， · · · ，A3互不相容，则有  P  A i     P(Ai)  i1  i1 ，， 即P(A 1  A 2  A n )  P(A 1 ) P(A 2 ) P(A n )，则称 P（A） 为时间 A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间 2、确定概率的频率方法： （是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法） 它的基本思想是： （1）与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行； （2） 在 n 次重复试验中，记 n(A)为事件 A 出现的次数，称 fn(A)= n（A） ， 为事件 A 出现的频率； n （3） 频率的稳定值就是概率； （4） 当重复次数 n 较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法： 它的基本思想是： （1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性） ； （3） 若事件 A 含有 k 个样本点，则事件 A 的概率为 P（A） A所包含的基本事件数k = = 。。 n基本事件总数 4、确定概率的几何方法： 它的基本思想是： （1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等） 大小可用 Sn表示； （2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的； （3） 若事件 A 为中某个子区域，且其度量为SA,则事件 A 的概率为 P（A）= S A . S  5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率 P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能 性大小所做出的个人信念。 6、概率是定义在事件域 ξ 上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满 足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。 第三节 概率的性质： 1、 P(Φ)＝0 2、 有限可加性：若有限个事件A,，A2， · · · ，A3互不相容，则有  P  A i     P(Ai)  i1  i1 ， 3、 对立事件的概率：对任一事件A，有P(A) 1 P(A) 4、 减法公式（特定场合） ：若 AB,则 P(A－B)＝P(A)－P(B) 5、 单调性：若 AB，则 P（A） P（B） 6、 减法公式（一般场合） ：对任意两个事件 A、B，有 P(A－B)＝P(A)－P(AB) 7、 加法公式：对任意两个事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。 对任意 n 个事件 A1，A2， · · · ，An，有 P(A i ) P(A i ) i1i1 nn 1i ja  P(A i A j ) 1i jka P(A A A )(1) ijk n1P(A 1 A 2 A n ) 8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有P（A B）  P(A)  P(B). 9、 事件序列的极限： （1）对 ξ 中任一单调不减的事件序列F 1  F 2  F n ， 称为可列并  F n1  n 为极限{Fn}的极限事件，记为 n limF n F n 。 n1 （2）对 ξ 中任一单调不增的事件序列 E 1  E 2  E n ，称为可列交 E n1  n 为极限{En}的极限事件，记为lim E n  n E n1  n 。 若lim P(E n )  P(lim E n ) ,则称概率 P 是上连续的 nn 10、概率的连续性：若 P 为事件域 ξ 上的概率，则 P 既是上连续的，又是下连续的 11、若 P 是 ξ 上满足 P（Ω）=1 的非负集合函数，则 P 是可列可加性的充要条件是 P 具有有限可加性和下连续性。 第四节条件概率 1、条件概率：设 A、B 是两个事件，若 P(A)0，则称 P(A|B)= 下，事件 A 发生的条件概率。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式： （1）若 P(B)0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若 P(A1A2…A