概率论与数理统计总结讲解

第一章 随机事件与概率 第一节随机事件及其运算 1、 随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合， 记为 Ω{ω},其中 ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母 A、B、C 等表 示，Ω 表示必然事件， ∅ 表示不可能事件。 4、 随机变量用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种 （1）用集合表示，这是最基本形式 （2）用准确的语言表示 （3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （（1 1）包含关系）包含关系如果属于A 的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事 件 B 发生，则称 A 被包含于 B，记为 A⊂B; （2）相等关系相等关系若 A⊂B 且 B⊃ A，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A＝B。 （3）互不相容互不相容如果 A∩B∅，即 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互不相容 7、事件运算 （（1 1）事件）事件 A A 与与 B B 的并的并事件 A 与事件 B 至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件事件 A A 与与 B B 的交的交事件 A 与事件 B 同时发生，记为 A∩ B 或 AB。 （3）事件事件 A A 对对 B B 的差的差事件 A 发生而事件 B 不发生,记为 A－B。用交并补可以 表示为A B  AB。 （4）对立事件对立事件事件 A 的对立事件（逆事件） ，即 “A 不发生”，记为A。 对立事件的性质A B  , A B  。 8、事件运算性质设 A，B，C 为事件，则有 （1）交换律A∪BB∪A，ABBA （2）结合律A∪B∪CA∪B∪CA∪B∪C ABCABCABC （3）分配律A∪B∩C＝A∪B∩A∪C、 AB∪C＝A∩B∪A∩C AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则） A B  A B A B  A B 9、事件域含有必然事件 Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为 σ 代数。具体说，事件域ξ 满足 （1）Ω∈ξ; 2若 A∈ξ，则对立事件A∈ξ； （3）若 An∈ξ，n1,2， ，则可列并 An n1  ξ 。 10、两个常用的事件域 （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； 2 （2）连续样本空间（如 R、R 等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步 扩展而成的事件域。 第二节 概率的定义及其确定方法 1、概率的公理化定义定义在事件域ξ 上的一个实值函数 P（A）满足 （1）非负性公理若 A∈ξ，则 PA≥0； （2）正则性公理PΩ＝1 （3）可列可加性公理若A,，A2， ，A3互不相容，则有  P  A i     PAi  i1  i1 ，， 即PA 1  A 2  A n   PA 1  PA 2  PA n ，则称 P（A） 为时间 A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间 2、确定概率的频率方法 （是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法） 它的基本思想是 （1）与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行； （2） 在 n 次重复试验中，记 nA为事件 A 出现的次数，称 fnA n（A） ， 为事件 A 出现的频率； n （3） 频率的稳定值就是概率； （4） 当重复次数 n 较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法 它的基本思想是 （1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性） ； （3） 若事件 A 含有 k 个样本点，则事件 A 的概率为 P（A） A所包含的基本事件数k 。。 n基本事件总数 4、确定概率的几何方法 它的基本思想是 （1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等） 大小可用 Sn表示； （2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的； （3） 若事件 A 为中某个子区域，且其度量为SA,则事件 A 的概率为 P（A） S A . S  5、确定概率的主观方法一个事件A 的概率 P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能 性大小所做出的个人信念。 6、概率是定义在事件域 ξ 上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满 足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。 第三节 概率的性质 1、 PΦ＝0 2、 有限可加性若有限个事件A,，A2， ，A3互不相容，则有  P  A i     PAi  i1  i1 ， 3、 对立事件的概率对任一事件A，有PA 1 PA 4、 减法公式（特定场合） 若 AB,则 PA－B＝PA－PB 5、 单调性若 AB，则 P（A） P（B） 6、 减法公式（一般场合） 对任意两个事件 A、B，有 PA－B＝PA－PAB 7、 加法公式对任意两个事件A、B，有 PABPAPB-PAB。 对任意 n 个事件 A1，A2， ，An，有 PA i PA i  i1i1 nn 1i ja  PA i A j  1i jka PA A A 1 ijk n1PA 1 A 2 A n 8、 半可加性对任意两个事件A、B，有P（A B）  PA  PB. 9、 事件序列的极限 （1）对 ξ 中任一单调不减的事件序列F 1  F 2  F n ， 称为可列并  F n1  n 为极限{Fn}的极限事件，记为 n limF n F n 。 n1 （2）对 ξ 中任一单调不增的事件序列 E 1  E 2  E n ，称为可列交 E n1  n 为极限{En}的极限事件，记为lim E n  n E n1  n 。 若lim PE n  Plim E n ,则称概率 P 是上连续的 nn 10、概率的连续性若 P 为事件域 ξ 上的概率，则 P 既是上连续的，又是下连续的 11、若 P 是 ξ 上满足 P（Ω）1 的非负集合函数，则 P 是可列可加性的充要条件是 P 具有有限可加性和下连续性。 第四节条件概率 1、条件概率设 A、B 是两个事件，若 PA0，则称 PA|B 下，事件 A 发生的条件概率。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式 （1）若 PB0,PABPBPA|B （2）若 PA1A2A