概率论与数理统计浙大四版习题答案

第一章概率论的基本概念 1.[一]写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分） （[一] 1） o1n100 S    ,  ，n 表小班人数 nnn  （3）生产产品直到得到10 件正品，记录生产产品的总件数。 （[一] 2） S={10，11，12，………，n，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1” ，查出次品记为“0” ，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二]设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生。 表示为：ABC或 A－(AB+AC)或 A－(B∪C) （2）A，B 都发生，而 C 不发生。 表示为：ABC或 AB－ABC 或 AB－C 表示为：A+B+C（3）A，B，C 中至少有一个发生 （4）A，B，C 都发生，表示为：ABC 表示为：ABC或 S－(A+B+C)或A B C（5）A，B，C 都不发生， （6）A，B，C 中不多于一个发生，即A，B，C 中至少有两个同时不发生 相当于AB, BC, AC中至少有一个发生。故表示为：AB  BC  AC。 （7）A，B，C 中不多于二个发生。 相当于：A, B,C中至少有一个发生。故表示为：A  B  C或ABC （8）A，B，C 中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC 6.[三]设 A，B 是两事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由 P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知 AB≠φ， （否则 AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31与 P (A∪B)≤1 矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)(*) （1）从 0≤P(AB)≤P(A)知，当 AB=A，即 A P(AB)=P(A)=0.6， ∩B 时 P(AB)取到最大值，最大值为 （2）从(*)式知，当 A∪B=S 时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设 A，B，C 是三事件，且P(A)  P(B)  P(C)  P(AC)  1 . 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 8 1 , P(AB)  P(BC)  0， 4 解：P (A，B，C 至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－ P(AC)+ P(ABC)= 315  0  488 8.[五]在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词” 2 ∵从 26 个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。 字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 ∴P(A)  5511  2130 A 26 9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。 （设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 记 A 表“后四个数全不同” ∵后四个数的排法有 104种，每种排法等可能。 4 后四个数全不同的排法有A 10 ∴ 4 A 10P(A)  4  0.504 10 10.[六]在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录 其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件 A 10 ∵10 人中任选 3 人为一组：选法有种，且每种选法等可能。  3  5 又事件 A 相当于：有一人号码为5，其余2 人号码大于 5。这种组合的种数有1    2 5 1  2    1 P(A)  1210  3   ∴ （2）求最大的号码为 5 的概率。 10 记“三人中最大的号码为5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有种，且  3  4 每种选法等可能， 又事件 B 相当于： 有一人号码为 5， 其余 2 人号码小于 5， 选法有1    2 种 4 1  2    1 P(B)  2010  3   11.[七]某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬 运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为 A。 9 在 17 桶中任取 9 桶的取法有C 17 种，且每种取法等可能。 432 C4C3取得 4 白 3 黑 2 红的取法有C 10 故 432 C 10 C4C3252 P(A)  62431 C 17 12.[八]在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。 （1）求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A 1500 种，每种取法等可能。∵在 1500 个产品中任取 200 个，取法有  200  4001100 种200 个产品恰有 90 个次品，取法有  90  110  4001100  90  110   P(A)   1500  200   ∴ （2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品” B0表“不含有次品” ，B1表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法 1100 种，200 个产品含一个次品，取法有4001100种有    200  1  199  ∵A  B0 B1且 B0，B1互不相容。 ∴ 1100 4001100   1  199    200   P(A) 1 P(A) 1[P(B0)  P(B1)]1   15001500   200   200    13.[九]从5双不同鞋子中任取4只， 4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对” 则 A 表“4 只人不配对” 10 ∵从 10 只中任取 4 只，取法有种，每种取法等可能。  4  要 4 只都不配对