概率论与数理统计课后答案徐雅静

概率论习题答案 第 1 章 三、解答题 5． 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n 4 C 10 种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 112 C 5 C 4 2(C 2 ) +C5 2 法一：分两种情况考虑：k 1212 其中：C5C4(C2)为恰有 1 双配对的方法数 11C 8 C 6 2 法二：分两种情况考虑：k  C +C5 2! 1 5 11C 8 C 6 其中：C  2! 1 5 为恰有 1 双配对的方法数 法三：分两种情况考虑：k 其中：C5(C8 12 11 C 5 (C 8 2C 4 )+C 5 2 1C 4 )为恰有 1 双配对的方法数 法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分：k 法五：考虑对立事件：k 其中：C5 4 4414 C 10 -C5 (C 2 ) 12 C 5C8 -C5 2 14(C 2 ) 为没有一双配对的方法数 1111C 10 C 8 C 6 C 4 法六：考虑对立事件：k  C  4! 4 10 1111C 10 C 8 C 6 C 4 其中： 4! k13 . 所求概率为 p  4  C 10 21 为没有一双配对的方法数 6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为 5 的概率； (2) 求最大号码为 5 的概率． 12C 3 A 5 C 5 2 11 解：(1) 法一： p  3  ，法二： p  3C 10 1212A 10 122C 3 A 4 C 4 11 (2) 法二： p  3  ，法二： p  3A 10 20C 10 20 7．将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率． 解：设M 1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的事件，则 231C 3 2 A 4 A 4 C 4 391 P(M 1 )  3  , P(M 2 ) P(M )  , 3 4316844316 8．设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品，仅有一个合格品和 没有合格品的概率各为多少？ 解：设M 2, M1, M0分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 112C 3 2C 3C2 C 2P(M 2 )  2  0.3,P(M 1)   0.6 ,P(M1)  2  0.1 2C 5 C 5 C 5 9．口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率． 解 ： 设M 1= “ 取 到 两 个 球 颜 色 相 同 ” ， M 1= “ 取 到 两 个 球 均 为 白 球 ” ， M 2= “ 取 到 两 个 球 均 为 黑 球 ” ， 则 M  M 1  M 2且M1  M 2  . 22C 5 C 3 13 所以P(M)  P(M1  M 2 )  P(M 1)  P(M2 )  2  2 . C 8 C 8 28 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 因此 = {(x，y)：0 x，y 1} ：x +y 6/5} 2 事件A =“两数之和小于 6/5”= {(x，y) 14 1   A的面积17 ． 2 5 P(A)  的面积125 图？ 11．随机地向半圆0 y  2ax x2 （a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求 原点和该点的连线与x轴的夹角小于  的概率． 4 表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x，y)：0  x  2a,0  y  2ax  x2 } 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于  ” 4 ={(x，y)：0 因此 x  2a,0 y 2ax x2,0  4 } 1 2 1 2a a A的面积 2 11 4 P(A)  ． 1 2 的面积2 a 2 111 ,P(B A) ,P(AB)  ，求P(A B)． 432 P(AB)111111 ,,P(B)  解：P(AB)  P(A)P(B A)   P(A| B)12264312 12．已知P(A) P(A B)  P(A) P(B) P(AB)  1111 . 46123 13．设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概 率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产 品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”； 22C 6 C 4 22 P(A) 1 P(A) 1 2  ，P(B)  2  ， C 10 3C 10 15 P(B| A)  P(AB)P(B)221 / P(A)P(A)15 35 14．有两个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放 到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则从 第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”，B=“从第 2 个箱子中取出的 1 个球是白球”，则 1C 2 32 P(A)  1 ,P(A)  ，由全概率公式得 5C 5 5 11 3C 5 2C 4 23 P(B)  P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)  1  1 , 5C 9 5C 9 45 由贝叶斯公式得 1 P(A)P(B| A)3C 5 2315 P(A| B)  1 /. P(B)5C 9 4523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为 0.02，而B被误收作A的概率为 0.01， 信息A与信息B传送的频繁程度为 2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知 P(N | M)  0.02,P(N | M )  0.01,P(M)  所以 2 . 3 1 P(N | M)  0.98,P(N | M )  0.99,P(M) , 3 由