概率论与数理统计课后答案徐雅静

概率论习题答案 第 1 章 三、解答题 5． 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解显然总取法有n 4 C 10 种，以下求至少有两只配成一双的取法k 112 C 5 C 4 2C 2 C5 2 法一分两种情况考虑k 1212 其中C5C4C2为恰有 1 双配对的方法数 11C 8 C 6 2 法二分两种情况考虑k  C C5 2 1 5 11C 8 C 6 其中C  2 1 5 为恰有 1 双配对的方法数 法三分两种情况考虑k 其中C5C8 12 11 C 5 C 8 2C 4 C 5 2 1C 4 为恰有 1 双配对的方法数 法四先满足有 1 双配对再除去重复部分k 法五考虑对立事件k 其中C5 4 4414 C 10 -C5 C 2 12 C 5C8 -C5 2 14C 2 为没有一双配对的方法数 1111C 10 C 8 C 6 C 4 法六考虑对立事件k  C  4 4 10 1111C 10 C 8 C 6 C 4 其中 4 k13 . 所求概率为 p  4  C 10 21 为没有一双配对的方法数 6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码．求 1 求最小号码为 5 的概率； 2 求最大号码为 5 的概率． 12C 3 A 5 C 5 2 11 解1 法一 p  3  ，法二 p  3C 10 1212A 10 122C 3 A 4 C 4 11 2 法二 p  3  ，法二 p  3A 10 20C 10 20 7．将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率． 解设M 1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的事件，则 231C 3 2 A 4 A 4 C 4 391 PM 1  3  , PM 2 PM  , 3 4316844316 8．设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品，仅有一个合格品和 没有合格品的概率各为多少 解设M 2, M1, M0分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 112C 3 2C 3C2 C 2PM 2  2  0.3,PM 1   0.6 ,PM1  2  0.1 2C 5 C 5 C 5 9．口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率． 解 设M 1 “ 取 到 两 个 球 颜 色 相 同 ” ， M 1 “ 取 到 两 个 球 均 为 白 球 ” ， M 2 “ 取 到 两 个 球 均 为 黑 球 ” ， 则 M  M 1  M 2且M1  M 2  . 22C 5 C 3 13 所以PM  PM1  M 2  PM 1  PM2  2  2 . C 8 C 8 28 10． 若在区间0，1内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率． 解这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 因此 {x，y0 x，y 1} x y 6/5} 2 事件A “两数之和小于 6/5” {x，y 14 1   A的面积17 ． 2 5 PA  的面积125 图 11．随机地向半圆0 y  2ax x2 （a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求 原点和该点的连线与x轴的夹角小于  的概率． 4 表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平解这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 {x，y0  x  2a,0  y  2ax  x2 } 事件A “原点和该点的连线与x轴的夹角小于  ” 4 {x，y0 因此 x  2a,0 y 2ax x2,0  4 } 1 2 1 2a a A的面积 2 11 4 PA  ． 1 2 的面积2 a 2 111 ,PB A ,PAB  ，求PA B． 432 PAB111111 ,,PB  解PAB  PAPB A   PA| B12264312 12．已知PA PA B  PA PB PAB  1111 . 46123 13．设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概 率是多少 解题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产 品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B“两件均为不合格品”； 22C 6 C 4 22 PA 1 PA 1 2  ，PB  2  ， C 10 3C 10 15 PB| A  PABPB221 / PAPA15 35 14．有两个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放 到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则从 第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少 解设A“从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”，B“从第 2 个箱子中取出的 1 个球是白球”，则 1C 2 32 PA  1 ,PA  ，由全概率公式得 5C 5 5 11 3C 5 2C 4 23 PB  PAPB| A PAPB| A  1  1 , 5C 9 5C 9 45 由贝叶斯公式得 1 PAPB| A3C 5 2315 PA| B  1 /. PB5C 9 4523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为 0.02，而B被误收作A的概率为 0.01， 信息A与信息B传送的频繁程度为 21，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少 解设M“原发信息是A”，N“接收到的信息是A”， 已知 PN | M  0.02,PN | M  0.01,PM  所以 2 . 3 1 PN | M  0.98,PN | M  0.99,PM , 3 由