概率论知识点的总结良心出品必属精品

实用标准 概率论总结概率论总结 目录 一、 前五章总结 第一章随机事件和概率 …………………………1 第二章随机变量及其分布……………………….5 第三章多维随机变量及其分布…………………10 第四章随机变量的数字特征……………………13 第五章极限定理……………………………….18 二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为 随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S 或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全 体样本点的集合称为样本空间.样本空间用 S 或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 文案大全 1 实用标准 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含 A，记为 BA 或 AB。 若 AB 且 AB 则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A＝B。 定义：和事件 “事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件。记为 A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A， 或 e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件 A 与事件 B 都发生”为 A 与 B 的积事件，记为 A∩ B 或 AB，用集合表示为 AB={e|e∈A 且 e∈B}。 定义：差事件 称“事件 A 发生而事件 B 不发生,这一事件为事件 A 与事件 B 的差事 件,记为 A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eB} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB＝Φ ，则称事件 A 与事件 B 是互不相容事件或互斥事件。 定义 6：逆事件/对立事件 称事件“A 不发生”为事件 A 的逆事件，记为Ā。A 与Ā 满足：A ∪Ā = S,且 AĀ =Φ。 运算律： 设 A，B，C 为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律： 文案大全 A B  A  B A B  A  B 2 实用标准 小结： 事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆； 四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。 第二节： 1、设试验 E 是古典概型, 其样本空间 S 由 n 个样本点组成 , 事 件 A 由 k 个样本点组成 . 则定义事件 A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。 2、几何概率：设事件 A 是 S 的某个区域，它的面积为 μ(A)，则 向区域 S 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为： P（A）=μ（A）/μ（S）假如样本空间 S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一 点的含义如前述，则事件 A 的概率仍可用（*）式确定，只不 过把理解为长度或体积即可. 概率的性质： （1）P()=0, （2）  P    P  m1  m1 A A i i , , A A j j , ,i i, , j j   1 1, ,2 2, ,, ,n n, ,i i   j j, ,两两互不相容，两两互不相容，  n n n n 则则 P P    A A k k       P P A A k k   ; ;   k k 1 1   k k 1 1 （3） P P( (A A) )   1 1  P P( (A A), ), （4）若 AB，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A). 第四节：条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称 为 A 对 B 的条件概率，记作 P(A|B). P P( (A A| | B B) )  P PABAB P PB B 文案大全 3 实用标准 而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条 件时 A 发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率. 乘法公式：若 P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) 全概率公式：设 A 1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间Ω的一个划分，且 n n P(A i)0，i =1,2,…,n, B 是任一事件, 则 i i1 1 贝叶斯公式：设 A 1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间Ω的一个划分，且 P(A i)0，i =1,2,…,n, B 是任一事件且 P(B)0, 则 P P(B B)   P P(A A i i )P P(B B｜A A i i ) 第五节：若两事件 A、B 满足 P P(A A i i | B B)  P P(A A i i )P P(B B｜A A i i )  P P(A A )P P(B B｜A A ) j jj j j j1 n n P(AB)= P(A) P(B)则称 A、B 独立，或称 A、B 相 互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件 A、B、C，若 P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C)四个等式同时 成 立,则称事件 A、B、C 相互独立. 第六节：定理对于 n 重贝努利试验，事件 A 在 n 次试验中出现 k 次的概率为 k kk kn n k kP P n n ( (k k) )   C C n n p p q qk k   0 0, ,1 1, ,, ,n n, ,q q   1 1  p p 总结： 1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系， 在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 请牢固掌握。 3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念， 应正确理解并应用于概率的计算。 4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广 泛。 文案大全 4 实用标准 第二章：随机变量及其分布 1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。 分布函数：设 X 是一个 r.v，x 为一个任意实数，称函数 F(X)=P（X≤x）为 X 的分布函数。X 的分布函数是 F(x)记作 X ～