机械振动理论中的一些原理问答

1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。确定弹性元件的组合方式是 串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。 n11 答：n 个刚度为k i 的弹簧串联，等效刚度  ；n 个刚度为k i 的弹簧 k eq i1 k i n 并联的等效刚度为k eq   k i ；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬” ，串联弹簧较 i1 其任何一个组成弹“簧软” 。 确定弹性元件是串联还是并联的方法： 若弹性元件是共位移——端部位移相 等，则为并联关系；若弹性元件是共力——受力相等，则为串联关系。 2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？ 答:非粘性阻尼包括： . （1）库仑阻尼计算公式F e  -mg sgnx，其中，sgn 为符号函数，这里    定义为sgn(x)  x(t) x(t)   ，须注意，当x(t)  0时，库仑阻尼力是不定的，它取决  于合外力的大小，而方向与之相反； （2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气、  液体）中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为F n  x sgnx；   （3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为E s X 3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振 幅、初相角的计算公式分别是什么？ 答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程m x kxt 0； 自然频率：f n   2  2  n 1  22  v 0     n 2 k ； m 振幅：X x 0 2    ；  初相角： arcran v 0。  n x 0 4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体 过程是什么？ 答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法： （1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形 的关系就可以确定出固有频率具体如下：k st  mg，又 n  子联立即可求得 n  k ，将这两个式 m g  st ； （2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。 A：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无 阻尼系统满足能量守恒定律，因此有T V  E  常数，对该式进行求导可得 dEd   T V 0根据此式即可导出运动微分方程，其中 T 为质的动能，V 为 dtdt 弹簧的势能。 B： 用能量法直接确定固有频率： 其原理是依据系统在任意时刻的能量和 （势 能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值T max ）和 最大位移处（势能达到最大V max ） ，可得T max =V max 该方法不用导出系统运动微分 方程，因此对于复杂系统非常有效。 C：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动 频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。 n  簧的质量。 5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、 小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然 频率、振幅、初相角的计算公式是什么？ 答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是 m xt c xt kxt 0或xt 2 n xt n xt 0。 2  k 其中m 为弹 m m 3  1 无阻尼： 0，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统 运动微分方程的解为：xt X cos n 其中，X、由初始条件确定此时特征 根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，xt为等幅振动。 小阻尼： （0 1） ，此时运动微分方程的解为：xt Xe nt cos d t ， 其中 d 12 n 为有阻尼自然 X x 0  2 v 0  n x 0 2  d 2 ， 系统的特征根为共轭复数， 具有负实部， 分别位于复平面左半面与实轴对称 的位置上； 有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率 越大，振幅衰减的越快； 特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率， 阻尼系统的自然频率完全有系 统本身的特性决定。初始条件x 0 与v 0 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相 角。 过阻尼： （1）xt X 1e s1t X 2e s2t，式中，X 1 、X 2 为由初始条件确定的 常数， 特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平 衡位置。 临界阻尼（1） ，此时系统微分方程的解为：xt e nt x 0 v 0  n x 0  t 临界阻尼c0 2 mk，临界阻尼率 c c 0 。 6.对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？ 答：对数衰减率 ln A 1 ln A 2  n 2  d  2 12 。其中A 1 、A 2 为间隔 j 个周期 T 的振动位移的两个峰值， 利用测得的峰值按公式 xt i  1 可以ln jxt i  jT 求得，然后利用公式  422 ，当阻尼率很小时  2 1，与 4相比 2 可以略去，故的近似计算公式为  。 2 7.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，其振幅和相位差的计算公 式是什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的 特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么？ 答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动： 振幅X  A  1    2   2 2 nn 2 2  n，相位差： arctan。 2 1  n  放大系数的定义：振幅 X 与激励的幅值 A 成比例，即X  HA，H 是无量纲的，H   1     n     2 1    2    n  2 ，H  表示动态振动的振幅 X     2 较静态位移 A 放大的倍数，称为放大系数。 幅频特性：H与振幅X之间仅差一个常数 A，因此，H描述了振幅 与激励频率之间的函数关系，故又称H为系统的幅频特性。 幅频特性曲线的特性： (1)当 0时，H=1，表明所有曲线从H=1 开始。当激励频率 很低，即 n 时，H接近于 1，说明低频激励时的振动幅值 接近于静态位移。这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可 以近似地用静变形过程来描述，  n 1的这一频率范围又被称为 “准静态区”或“刚度区” 。在这一区域内，振动系统的特性主要是 弹性元件的作用结果。 (2)当激励频率很高  n 1时，H1，且  n  时， H0，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及 对高频做出响