平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何高考复习学问点 平面解析几何 高考复习学问点 一、 直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,假如把轴围着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,即=tan(≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2) 斜率公式:经过两点、的直线的斜率为; (3)直线的方向向量,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: 。 例题: 例1.已知直线的倾斜角的改变范围为,求该直线斜率的改变范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: ∵, ∴. 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用在和上是增函数分别求解.当时,;当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30°, ∴kAB=tan150°= kAC=tan30°= 总结升华: 在做题的过程中,要清晰倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角,只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三:斜率公式的应用 例3.求经过点,直线的斜率并推断倾斜角为锐角还是钝角. 思路点拨: 已知两点坐标求斜率,干脆利用斜率公式即可. 解析: 且, 经过两点的直线的斜率,即. 即当时,为锐角,当时,为钝角. 例4、过两点,的直线的倾斜角为,求的值. 【答案】 由题意得:直线的斜率, 故由斜率公式, 解得或. 经检验不适合,舍去. 故. 例5.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值. 思路点拨: 假如过点AB,BC的斜率相等,那么A,B,C三点共线. 解析: ∵A、B、C三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.即 二、直线方程的几种形式 1、点斜式:已知直线过点斜率为,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 2、斜截式:已知直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 3、两点式:已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式:已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式:任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。 提示:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?);(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距肯定值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点,且纵横截距的肯定值相等的直线共有___条(答:3) 注:设直线方程的一些常用技巧: (1) 知直线纵截距,常设其方程为; (2) 知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线); (3) 知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,则其方程为; (4) 与直线平行的直线可表示为; (5) 与直线垂直的直线可表示为. 提示:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 三、两直线之间的位置关系 1、距离公式 (1)平面上的两点间的距离。特殊地,原点O(0,0)与随意一点的P(x,y)的距离 (2)点到直线的距离; (3)两平行线间的距离为。 2、直线与直线的位置关系: (1)平行(斜率)且(在轴上截距); (2)相交; (3)重合且; (4)垂直 提示: (1) 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,探讨两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3、两直线夹角公式 (1)到的角是指直线围着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角,且tan=(); (2)与的夹角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。 提示:解析几何中角的问题常用到角公式或向量学问求解。如已知点M是直线与轴的交点,把直线绕点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是______(答:) 例题: 例1、两条直线,,求分别满意下列条件的的值. (1) 与相交; (2) 与平行; (3) 与重合; (4) 与垂直; (5) 与夹角为. 解:由得,解得,. 由得. (1)当且时,,与相交; (2)当时,.; (3)当时,,与重合; (4)当,即,时,; (5) ,.由条件有. 将,代入上式并化简得,; ,.∴当或-5或3时与夹角为. 例2当为何值时,直线与直线相互垂直? 解:由题意,直线. (1)若,即,此时直线,明显垂直; (2)若,即时,直线与直线不垂直; (3)若,且,则直线、斜率、存在, ,. 当时,,即,∴. 综上可知,当或时,直线. 例3已知直线经过点,且被两平行直线和截得的线段之长为5,求直线的方程. 解法一:若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时与、的交点分别为和,截得的线段的长,符合题意, 若直线的斜率存在,则设直线的方程为. 解方程组得, 解方程组得. 由,得. 解之,得,即欲求的直线方程为. 综上可知,所求的方程为或. 解法二:由题意,直线、之间的距离为,且直线被同等直线、所截得的线段的长为5(如上图),设直线与直线的夹角为,则,故∴. 由直线的倾斜角为135°,知直线的倾斜角为0°或90°,又由直线过点,故直线的方程为或. 解法三:设直线与、分别相交、,则: ,. 两式相减,得. ① 又 ② 联立①、②,可得或 由上可知,直线的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为或. 例4 已知直线和两点、. (1)在上求一点,使最小; (2)在上求一点,使最大. 解:(1)如图,设关于的对称点为 则 ∴,. ∴ ∴的的是,与的交点是, 故所求的点为. (2)如下图, 是方程, 即. 代入的方程,得直线与的交点, 故所求的点为.