脆弱欧式期权定价模型探究
脆弱欧式期权定价模型探究 中图分类号:F832文献标识:A文章编号:1009-4202 (2012) 12-000-03 摘要首先本文通过介绍信用衍生品,解释了信用衍生 品中期权以及脆弱期权的概念,其次从期权定价的角度,重 点介绍了两种期权定价的方法,而后通过分析目前两种主流 的结构模型和约化模型,来回顾期权定价以及脆弱期权定价 的研究过程,整理了两种模型的思路。最后,在完全市场和 不完全市场下分别对两种不同的定价思想进行比较,并提出 今后可能的研究发展方向。 关键词 信用风险脆弱期权 定价模型 一、引言 在金融市场中,信用风险一直是一种很难进行定量分析 和管理的风险。因此,信用风险管理领域一直缺乏一种与利 率风险管理工具类似的风险对冲工具,直到1992年在巴黎 举行的ISDA (国际互换与衍生品协会)年会上才首次正式提 出了信用衍生品(Credit Derivatives)这种可以用作分散、 转移、对冲信用风险的创新产品。信用衍生产品提出后就迅 速发展,深受追捧。2008年初,信用衍生品市场的总规模 已达到62万亿美元。但在这些信用衍生品交易中,场外交 易(0TC)的衍生产品占已到衍生产品交易总额90%左右。由 于场外交易的期权不受交易所或国家权力机构的保护,期权 多头暴露在信用风险之下,信用风险则随着期权空头方违约 概率的增加而增大。不同于场内交易的期权,OTC市场并没 有专门的类似于清算所之类的机构来迫使期权的开立方到 期履行义务。因此,目前的信用衍生品市场上迫切需要一种 权威的,针对于有信用风险的期权的价格的制定方法。 二、期权定价方法 1. 传统期权定价方法 期权定价的概念最初是由Louis Bachelier (1900) [1] 在其论文《Th 6 orie de la Sp 6 culation》(投机交易理论) 中提出的。他首次提出了利用随机游走(random walk)的 思想对股票价格的演化进行了模拟,并在这种假设下讨论了 期权的定价问题。 2. B-S定价方法 自期权的概念提出以来,学者们都提出了期权的定价方 法。综合目前的期权的定价方法上,大体有两种思路。一种 是B-S定价方法,另一种是鞅测度法。 Fischer Black 和 Myron Scholes (1973) [2]提出的 Black-Scholes定价公式在期权定价研究中具有里程碑式的 意义。在 Louis Bachelier (1900) 后,Paul Samuelson 首 先通过对Louis Bachelier的模型中股票价格的修改得到随 机偏微分方程,通过几何Brown运动对原生资产的刻画,克 服了股价可能出现负值的情况。Fischer Black和Myron Scholes在前人研究的基础上排除了需要依赖于投资人个人 偏好的的参数,利用无风险利率r以及△-对冲的方法巧妙 地将将投资者引入了一个以无风险利率作为投资回报率的 风险中性世界(risk-neutral world),并给出了该假设下 欧式看涨期权的风险中性价格公式: B-S定价方法的思路是通过运用-对冲技巧建立无风险 回报投资组合并对期权进行复制,在对标的资产进行建模 后,由It?引理及无套利原理通过解一个偏微分方程,从而 得出期权的具体价格。Fischer Black和Myron Scholes (1973)在推导B-S公式的时候首次通过这种方法得出了期 权的价格。 3. 鞅测度 鞅测度是后来使用较多的方法。在完全市场下,即或有 权益的到期支付可以被一组可交易资产的投资组合进行复 制的市场下,Harrison和Pliska (1981) [3]证明了存在唯 一的鞅测度。通过选取一个与客观概率测度等价的鞅测度和 一个标准资产,期权合约所对应的标的资产价格用该资产折 现后在风险中性测度下是一个鞅,由于市场不存在套利机 会,从而期权的当前价格可看作是到期支付函数经标准资产 折现后在风险中性测度下的期望。 三、脆弱期权定价模型 1. 脆弱期权 脆弱期权(vulnerable options)首先是由Johnson和 stulz (1987 ) [4]提出的,他们首次讨论了信用违约风险对 期权价格的影响,并将这种包含交易对手违约风险的期权命 名为脆弱期权。 尽管B-S期权定价公式的提出意义非凡,但在Fischer Black和Myron Scholes提出的定价公式中并未考虑交易对 手违约的风险。1974年Merton[5]创立了最初的信用风险债 券定价模型,他假定破产门槛值K为常数,通过破产概率来 计算风险零息债券的价值。Johnson和stulz (1987)通过 假设公司资本包含资产和负债,当资不抵债时公司发生违 约,将Merton的含信用风险的公司债券模型进行扩展,应 用到相应的期权定价中,探讨了含交易对手违约风险的期权 定价问题,并首次将这种期权命名为脆弱期权。脆弱期权的 提出,标志着研究方向更加专注于信用风险对期权定价的影 响,同时在信用风险条件下得到的期权价格也更贴近交易市 场的实际情况。 2. 脆弱期权定价模型 (1)公司价值模型 公司价值模型又称结构化模型,最早是由Merton在1974 年研究公司信用风险债券定价时建立的,因此公司价值模型 又被称作莫顿模型。该模型假设公司的资产价值低于公司所 欠的债务时,就以宣布破产的形式将公司资产抵押给债券持 有者。这类方法最大的优势在于其不再假设破产是一外部常 量,并将违约时的偿还率与公司资产价值联系起来了。 同时该模型下莫顿还有一系列的假设,例如:公司不能 在到期日之前发生破产、公司资产结构中只含有一类债务 等。 Johnson和stulz (1987)通过扩展莫顿的公司价值模 型,首次引入了脆弱期权的定义并进行了相关定价的研究。 Johnson和stulz假设脆弱看涨期权的价值可以看做这里表 示交易对手公司资产的价值,表示基础证券的价值,表示期 权的执行价格。尽管他们并未求得脆弱期权的分析性价格闭 解公式,但他们还是通过数学积分求得了价格,同时还指出 了脆弱期权的大量特征,发现了基础资产与公司价值的相关 性也对期权价格有相应的影响。Johnson和stulz在Merton 的基础上有了很大的发展,不过由于模型中假设交易对手资 本结构中仅仅存在一类负债,这就使得与期权结算金相比, 基础资产价格对到期日对公司偿付要求权的能力具有很大 潜在影响。由于公司价值的一些假设过于严格,后续 的研究中对最初的公司价值模型进行了不同的改进。 Hull-White (1995) [6]在 Johnson 和 stulz 的基础上 公司资产结构中还存在着其他的要求权,且这种要求权与要 定价的期权属同一级别。在Hull-White的模型下,违约可 以发生在到期前的任何时候,同时他们还将违约门槛设为一 个比值,当一个与公司价值无关的函数触及这个比值时发生 违约。 Klein (1996) [7]放弃了 Hull-White模型中可以提前 违约的假设,而是沿用Merton的违约只能发生在到期时。 但对Johnson和stulz的债务假设进行了扩展,假