课时作业梯级练二十九平面向量的数量积及应用举例
课时作业梯级练二十九平面向量的数量积及应用举例 基础落实练 一、选择题(每小题5分,共25分) (30分钟60分) 1.已知向量 a = (l, —1), b = (2, x),若 a b=l,贝U x=() 1 1 A. —1 B. —2 C. 2 D. 1 【解析】选 D.a・b = lX2 + ( —l)Xx=2—x=l,所以 x = l. 2. (2021■+堰模拟偌夹角为。的向量a与b满足|b| = |a —b|=l,且向量a为非零向量,则 |a|=() A. — 2cos 9 B. 2cos 0 C. —cos 。 D. cos ° 【解析】选 B.因为 |b| = |a —b| =1,所以 b2=a2—2a b+b2, a2=2a b, |a|2=2|a| |b|cos 0 , 因为a为非零向量,所以|a| =2|b|cos 8 =2cos 0 . 3. 已知向量 a = (l, 2), b=(2, -1), c=(L 入),若(a + b)±c,则入的值为() 1 1 A. —3 B. —TC. T D. 3 【解析】选 A.因为 a + b = (3, 1),由(a + b)_Lc 得(3, 1)-(1,入)= 0, 3+入=0,入=—3. 4. 已知非零向量a, b的夹角为60° , |a|=2, |a —2b|=2,贝ij|b|等于() A. 4 B. 2 C.吏 D. 1 【解析】选D.因为|a —2b| =2,所以|a —2b/ = 4, a2—4a-b+4b2=4, 4—4-2|b|cos 60° +4|b|2=4, 解得|b|=l,(|b|= 0 舍去) 5. 已知|a|=6, |b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a・b为() A. 12 B. 8 C. -8 D. 2 【解析】选 A.因为 | a | cos 〈a, b) =4, |b|=3, 所以 a-b= |a| |b| • cos〈a, b) =12. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知AABC的三边长均为1,且 c, BC=a CA. =b,贝I」ab+bc+ac= 【解析】因为〈a, b〉= = =120° , |a| = |b| = |c|=l,所以 ab=bc=ac 13 =1XlXcos 120° =—3 , ab+bc+ac= —. 7.已知向量a二(入,-6),b二(-1,2),若a与b的夹角为钝角,则入的取值范围是. 【解析】因为向量a与b的夹角为钝角,所以a-b=(X,-6) • (-1, 2)=-入-12-12. 2 = 3, 解得L c k = -3 即当X=3时,向量a与b共 A = -k, 当a与b共线时,设a=kb (k<0),可得< -6 = 2k, 线且反向,此时a - b<0,但a与b的夹角不是钝角.综上,X的取值范围是(-12,3) U (3,+8). 答案:(-12, 3) U (3,+8) 8. (2021 -贵阳模拟)已知ZXABC外接圆的圆心为0, M为边BC的中点,若AB=3, AC=5,则 A0 •. [解析】如图,取AC的中点D, AB的中点E,并连接0D, 0E, 则0D±AC, 0E±AB,所以 —► »► ►. 1. 2 5 A —►—► A ► 1 A 9 —► AO • AC=(AD+DO)・ AC=-AC?二—,AO • AB二(AE+EO)・ AB二-AB?二一,AO • 2 222 一 1一 一一 9+25 17 AM二一 AO • ( AB+ AC)==—, 242 答案成 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知|a|=4, |b|=8, a与b的夹角是120° ⑴计算:①|a+b|,②|4a —2b|. ⑵当k为何值时,(a+2b)±(ka-b). 【解析】由已知a-b=4X8xf—= — 16. (1)①因为 |a + b|2=a2+2a-b+b2 = 16 + 2X(-16) + 64 = 48,所以 |a + b|=4也, ②因为 |4a — 2b12= 16a2—16a-b+4b2 = 16X16-16X(-16)+4X64=768, 所以 |4a —2b|=16“. (2)因为(a + 2b)_L(ka — b), 所以(a + 2b)-(ka —b)=0, ka2+(2k—l)a-b—2b2=0, 即 16k-16(2k-l)-2X64 = 0, k=-7, 所以当k=—7时,a + 2b与ka —b垂直. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( —1, 一2), B(2, 3), C( —2, —1). ⑴求以线段AB, AC为邻边的平行四边形两条对角线的长. ►A A AB-tOC)OC=o,求t 的值. 【解析】(1)由已知 AB AB+AC=q, 6), 所以I AB+AC ⑵设实数t满足( =(3,5), AC =(—1, 1),则 AB—AC=(4,4). AB-AC | =4彖. 1=2716 , | 所以所求的两条对角线的长分别为4、他,2^/10 . =(一2, -1), (2)由已知,OC AB-tOC = (3 + 2t, 5+t). 由( AB -tOC)OC=o 得 (3 + 2t, 5+t)-( — 2, —1) = 0,所以 5t= —11, ~ 11 所以t=—・ 素养提升练 (20分钟35分) 1.已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为驾-+1,则向量a与b的夹角 为( 【解析】选A.设向量a与b的夹角为8,因为向量a、b为单位向量,a + b在a的方向上的投 影为平 +1,所以(a + b)・a= |a|[乎+1],变形得 1 + a-b=^ +1,即 a-b=lXlXcos 0 = cos 0 =当,又由 OWOW n ,则 0=~7-,故选 A. ji A・亏 JI C・ b. T JI D. y ZO 2.已知非零向量a, b满足|a| =2|b| ,且(a-b)±b,则a与b的夹角。为( jiji2兀5兀 A. — B. — C.D. ~r~ OD□O 【解析】选B.因为(a-b)lb, 所以(a—b)b=ab—b2=0, 所以a b=b2, 〜ab |b|21 所以 cos=和=5 」 n 所以a与b的夹角为耳“. 3. (5分)已知菱形ABCD的边长为4, ZABC=60° , E是BC的中点,DF=-2 AF,则AE - BF= AB A. 24 B. -7 C. -10 D. -12 AD二BC ,所以 —*1 —*—*1 —► 【解析】选 D,由已知得AF=-AD , BE二一 BC 32