课时提升作业(十九)
课时提升作业(十九) 导数的几何意义 (15分钟30分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1. 如果曲线y=f(x)在点(xo, f (xo))处的切线方程为x+2y-3=0,那么() A. f (xo) >0B. f (xo) <0 C. f7 (xo) =0D. fz (xo)不存在 【解析】选B.切线x+2y-3=0的斜率k=-, 即 f (x0)=- <0.故应选 B. 2. (2015 -南安高二检测)抛物线y=x,在点M(,)处切线的倾斜角是() A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【解析】选B.y =2x,故y‘ =1.故在点M处切线的倾斜角为45° . 【补偿训练】(2015 •东营高二检测)曲线y=x -3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标 为. 【解析】设切点坐标为(xo, yo), y = ==(A x+2xo~3) =2xo-3=l, 故 x0=2, yo=-3xo=4-6=-2,故切点坐标为(2, -2). 答案:(2, -2) 3. (2015钗中高二检测)设曲线y=在点(3, 2)处的切线与直线ax+y+l=0垂直,则a等于() A. 2B.C. -D. -2 【解析】选D.因为y=, 所以y 所以y Ix=3=-,由题意可知-a=2, 解得a=-2,故选D. 二、填空题(每小题4分,共8分) 4. (2015 •福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1, 3)处的切线斜率为2,则=. 【解析】=(a • A x+2a) =2a=2,所以 a=l, 又 3=aX l2+b,所以 b=2,即=2. 答案:2 5. 如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则 f(5)+f,(5)=. 【解题指南】f (5)即在点P处切线的斜率,f (5)可利用直线方程求值. 【解析】f⑸+亡(5) = (-5+8)+ (-1)=2. 答案:2 三、解答题 6. (10分)(2015 •开封高二检测)若抛物线y=4x2±的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的 坐标. 【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求. 【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P (x„, y„), 则 y == ==(8x+4 A x)=8x, 由得 故所求的点为P. 【补偿训练】曲线y=-x2±的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为. 【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y-b切于点P(x°, y。),则由 y == =(_2xo_ A x) =_2xo, 由得 所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d==. 答案: (15分钟30分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1. 曲线y=x3-3x在点(2, 2)处的切线斜率是() A. 9 B. 6C.-3 D. -1 [解析】选 A. A y= (2+ A x)七3 (2+ A x) -23+6=9 Ax+6(Ax)2+(A x)3, =9+6 Ax+( Ax)2, =[9+6 A x+( A x) 2]=9, 由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2, 2)处的切线斜率是9. 2. (2015 •泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取 值范围为,则点P横坐标的取值范围为() A.B. [-1, 0] C. [0, 1]D. 【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点 P横坐标的取值范围. 【解析】选D.设点P的横坐标为xo,因为y=x2+2x+3, 由定义可求其导数y =2x°+2,利用导数的几何意义得2x°+2=tana (a为点P处切线的倾斜角), 又因为a 所以lW2xo+2, 所以x<)W.故选D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 3. 曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为. 【解题指南】求出曲线在任一点处的切线斜率,配方求斜率的最小值. 【解析】设切点为P(x。, y。), 过点P的切线斜率k= (x0 + Ax)3 + 3(x0 + Ax)2 + 6(x0 + Ax) — 10 — (x* + 3x« + 6x0 — 10) lim Ax—0Ax =3+6xo+6=3 (xo+1) 2+3. 当xo=-l时k有最小值3,此时点P的坐标为(T, T4),其切线方程为3x-y-ll=0. 答案:3x-y-ll=0 4. 若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值 为. 【解析】根据题意可知过点P处切线的斜率为f =-5, 又直线0P的斜率为-,据题意有-=-5nc=4. 答案:4 三、解答题 5. (10分)(2015 •银川高二检测)已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1),Q. (1) 求曲线在点P, Q处的切线的斜率. (2) 求曲线在P,Q处的切线方程. 【解析】将点P (2, -1)代入y=,得t=l, 所以y=. (1)曲线在点P处的切线斜率为y L===l; 曲线在点Q处的切线斜率为y (2)曲线在点P处的切线方程为y-(-l)=x-2, 即:x-y-3=0, 曲线在点Q处的切线方程为厂=:x-(-l)], 即:x-4y+3=0.