课时提升作业十八
课时提升作业十八 向量数乘运算及其几何意义 ■基础达标■ (15分钟30分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1. 化简-y(2a + 8fe) —(4a—的结果是() A. 2a_bB. 2b-aC. b_aD. a_b 1 1 【解析】选 B.原式=3 (a+4b-4a+2b) =3 (6b-3a) =2b-a. —>—>—> 2. 设四边形ABCD中,有AB=3DC且|AD| = |BC|,则这个四边形是 () A.平行四边形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形 1 T ——AB 【解析】选C.因为DC=3 , 所以AB〃DC且AB手DC, —>一 所以四边形ABCD是梯形,又|AD| = |BC|, 所以四边形ABCD是等腰梯形. 3. 在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点0, E是线段0D的中点,AE 的延长线交DC于点F,若AB=a,AD二b,则AF=() B. 2a+b 1 A. 3a+b 1 C. a+3bD. a+2b 1 【解析】选A.由已知条件可知BE=3DE,所以DF= 3 AB,所以 1 一 1 T T T T — AB — AF=AD+DF=AD+3 =3a+b. 二、填空题(每小题4分,共8分) —>—> 4, 已知a, b是不共线的向量,若AB=入wb, AC=a+入2b(入1,入2《R), 若A,B,C三点共线,则入1入2=. 【解析】因为A,B,C三点共线,所以AC,AB共线, —»—» 所以存在实数入使得AC=入AB, 则 a+ X 2b= X (入 ia+b), 即(1-入入Da+(入2-入)b=0,由于a,b不共线, 所以1二入入且入2二入,消掉入得入I入2=1 . 答案:1 5. 如图所示,在AABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC,若 AC=mAB+nAD (田,n E R),则 m-n=. A B D C 【解题指南】用向量AB, AD表示向量AC,求出m, n后计算. 【解析】直接利用向量共线定理,得BJ3DC, 则 AC-AB+BC-AB+3DC-AB+3(AC_AD) ]T 3 T 二二▲二二=ab -ad 二AB+3AC—3AD, AC二—2 +2 13 则 m=-2, n=2, 1 3 那么m-n=- 2-2=-2. 答案:-2 三、解答题 T—> 6. (10分)如图所示,四边形OADB是以向量。冬a, °B=b为邻边的平行 1 1 四边形.又 BM=3bc, CN=3cd,试用 a, b 表示OM, ON, MN. 1 一 1 ——BC —BA —— 【解析】BM=3 -6 =6(OA_OB)=6(a_b), …- 11J.2 所以O M-OB+BM-b+6a_6b-6a+6b It/ 二-CD -OD 因为 CN = 3 -6, ]T ] — 2 — 所以 ON;C+(k 尹 D/OD^OD 22 _ —> 一 _ =3(OA+OB)-3 (a+b), 215 11 MN=0N-0M-3 (a+b) 能力提升■- (15分钟30分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1. 已知0是AABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+OB+OC=o. 则 — —> A. AO=2OD C. AO=3OD ——> B. AO=0D —> T D. 2AO=OD 【解析】选B.因为D为BC的中点, 所以OB+OC=2OD,所以 2OA+2OD=0) T—»—» —> 所以OA=_OD,所以A。二OD. 2. 正方形ABCD的边长为1, AB=a, AC=c, BC=b,则|a+b+c|的值为 C. 3D. 2a/2 【解析】选 d. a+b+c=AB+BC+AC=AC+AC=2AC, —>—> 所以 | a+b+c | = 12 AC | =21 AC | =2 \ 二、填空题(每小题5分,共10分) 3. (2018青岛高一检测)若| AB | =2 | BC |,且AB=入BC,则入=. 【解析】(1)当点C在线段的延长线上时,如图. AB C —>—> 则 AB=2BC,则入二2. ⑵当点C在线段上时,如图. A C B 则AB—2BC,即入二-2.综上,入二±2. 答案:±2 4. 设a, b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反, 贝I」k=. 【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反, 2 =入 k, 所以 ka+2b-入(8a+kb) => 入n k=-4 (因为方向相反,所以入 k<0). 答案:-4 【误区警示】本题容易出现得到k=±4的错误,出错的原因是忽视了 条件方向相反对k取值的限制. 三、解答题 5. (10分)已知向量a=2e-3e2, b=2ei+3e2,其中eb e2不共线,向量 c=2e-9e2.问是否存在这样的实数入,u ,使向量d=入a+ u b与c共线? 【解析】因为 d二入(2ei-3e2) + |i (2ei+3e2) 二(2 入 +2 pi) ei+ (一3 入 +3 |i) e2, 要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc, 即(2 入 +2 口)e〕+ (-3 X +3 |i) e2=2ke厂9ke2, 2入 + 2 日=2k, 即[-3入 + 3p =- 9k,得入二一2 口 . 故存在这样的实数入,口,只要入二-2 n ,就能使d与c共线.