高中数学概率大题(经典一)
高中数学概率大题(经典一) 解答题(共10小题) 1. 在一次运动会上,某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛. (1) 如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X,求随机变量X 的数学期望; (2) 若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队 员身材相对矮小,也不宜同时上场;那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队 员,教练员有多少种组队方案? 2. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分 钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表: 办理业务所需的时间 (分) 1 2 3 4 5 频《 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1) 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率; (2) X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望. 3. 某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒中装有9张大小相同的 精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:参 加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝“卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用 后放回盒子,下一位参加者继续重复进行. (1) 有三人参加抽奖,要使至少一人获奖的概率不低于?,则“海宝“卡至少多少张? 8 (2) 现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用f表示获奖的人数,求£的分布列及Eg的值. 4. 一袋中有m (meN*)个红球,3个黑球和2个白球,现从中任取2个球. (1) 当m=4时,求取出的2个球颜色相同的概率; (2) 当m=3时,设&表示取出的2个球中黑球的个数,求f的概率分布及数学期望; (3) 如果取出的2个球颜色不相同的概率小于Z,求m的最小值. 3 5. 某商场为促销设计了一个抽奖模型,一定数额的消费可以获得一张抽奖券,每张抽奖券 可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球,至少摸到一个 红球则中奖. (I )求一次抽奖中奖的概率; (II)若每次中奖可获得10元的奖金,一位顾客获得两张抽奖券,求两次抽奖所得的奖金 额之和X (元)的概率分布和期望E (X). 6. 将一枚硬币连续抛掷15次,每次抛掷互不影响.记正面向上的次数为奇数的概率为Pi, 正面向上的次数为偶数的概率为P2. (I )若该硬币均匀,试求P1与P2; (II)若该硬币有暇疵,且每次正面向上的概率为p(OVp11 P (X=2) =■ P (X=3) =—^― C5 >11 c5 >11 媚c? p (x=5) 二—^. c5 ・随机变量x的概率分布如下表: X 0 1 2 3 4 5 P C*Ci ~cT cfcf 布 E (X) =0X 二 63农2.73 231 (2)由题意知 ① 上场队员有3名主力,方案W: (Ce^C?) (C52 - C22) =144 (种) ② 上场队员有4名主力,方案W: (C64-C42) C5*=45 (种) ③ 上场队员有5名主力,方案W: (C65-C43)。5°=。4扣21=2 (种) 教练员组队方案共有144+45+2=191种. 2. (2012.陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表: 办理业务所需的时间 (分) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1) 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率; (2) X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望. 【解答】解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下: Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形: ① 第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟; ② 第一个顾客