重庆大学大二物理理论力学试卷及答案
重庆大学物理学院本科生XX——XX学年第二学期理论力学课程期末考试试卷(A卷) 专业:年级:学号:姓名:成绩: 一、填空题(本题共20分,共5小题,每空2分,共10个空) 1. 质点系动量的变化率等于(体系所受到的合外力)。 2. 质点系的动能的增加,等于(外力和内力所作的元功之和)。 3. 时间的均匀性导致(能量守恒),空间的均匀性导致(动量守恒),空间的各项同性导致(角动量 守恒)。 4. 力产在虚位移下所作的功称为虚功,用鸟w表示第个质点所受到的约束力,理想约束的定义为: (饮”=。)。 5. 刚体平动的自由度为(3),定轴转动自由度为(1),平面平行运动自由度为(3)o刚体的一般运 动自由度为(6)o 二、证明题(本题共20分,共2小题,每小题10分) 1. 设一质点在方向的动量分量分别为〃“2,〃3。对三轴的角动量分别用Ji L L表示。应用 泊松括号定义证明: (1) “a,P』=。(其中«,/? = !,2,3) ⑵[心化]=。(其中 a = 1,2,3) 证明: (1)用 01,02,03 表小 x, y, z 由泊松括号: 得: I改如I dp2 dq2 ——II 、dp{ dqY dp2 dq2 “Pa 6P& | 如初 | 6Pa 响] 、dqx 2p[ dq2 dp2 dq3 dp3) = (&xO +或 xO + &xO) 一(Ox& + 0 x& + 0 x&) \ P乙P) =0 同理 2. 有角动量定义得: Jx = mzy - zmy = p3q2 - q3p2 < J2 = mxz - xmz = p{q3 - qxp3 L = myx 一 ymx = pq 一 q2px [4,W = [3302—03〃2)/l] =〃3[02,巧]+ [小,巧]02一03[〃2,巧]—[03,〃1]地 =0 同理: [,2‘ P2] = [,3, P3]=。 所以, Pa]=。 2.已知某完整保守体系,其拉格朗日函数为: L = —(m + m,)7?2 +^mR2(p2 —m g(R —/) 其中,R,(p为广义坐标,常数。由拉格朗日方程证明系统的运动微分为: mRqr +m g =0 和 £(”泥少)=。 证明: dL dR d dL dt dR -(m + m )R 对于自由度R: ——=mR 新—m g 8R 由拉格朗日方程: 对于自由度。 由拉格朗日方程: d dL dL „ dt dR dR 借 (m + m )R _ mR 时 + nig = 0 ——=mR1^ d(p d dL dt d(p J d(p d dL dL dt d(p d(p 三、计算题(本题共60分,共4小题,每小题15分) 1. 一质点无摩擦地在环形轨道上下滑,轨道弯曲段的曲率半径为R,该质点由高力处由静止 开始下滑,在某处质点开始和轨道脱离接触,试分析并说明脱离接触的位置,并计算发生这种情况的 h的最小值。 解:开始与轨道脱离接触的位置是拐点A,在到达A点以前要脱离轨道,需要轨道的支持力为零,可 这支持力不为零,因此,到达A点以前不可能脱离轨道。另一方面,,如果在A点未脱离轨道,则在 A到B的过程中,因速率减小,而重力的法向分量增大,轨道的支持力必然增大,自然是不能脱离轨 道的,过B点以后,直到A同样高度处,根据对称性考虑,也和A到B的过程一样,不能脱离轨道。 再以后,脱离轨道是可能的。问题是发生脱离轨道的最小的h多大?开始脱离轨道的位置是在A店 还是在别处? 首先考虑在A点开始脱离轨道需要的最小的高度h,由向心力公式得: mv21 =mg cos 60 =—mg R2 则: ”=抑 由机械能守恒定律, 11 f 1 ) mgh - — mv + mgR sin 30° - —m — gR +m^7?sin3O° 所以: 3 h = -R 4 要越过轨道高度的极大值B点,h必须大于R,因此,发生脱离轨道的最小值应为j*,开始脱离轨 道的位置只能在A点。 1 , 2.自由落体的拉格朗日量可以表示为:L = T-V=-mz-+mgz,试根据哈密顿原理求解自由落体运 1 , 动的真实规律为:z = >- 解: 根据哈密顿原理: 12 —mz +mgz dt =j2 —(mzSz^-—(mz^6z + mg6z dt =(履+ j2 [mg (g _ z^^zdt =0 闵=闵=。) 因为5z是任意的不为零的量,所以: 秫g(g 一切=。 所以: 积分得: dz = gtdt 再积分得: 3. 带电粒子电磁场中运动,以失势A(r,r)、标势9亿。、电荷量。和电荷的质量m等物理量表示系 统的拉格朗日函数,该拉格朗日函数可以写成: L=-mv2-e^(p-v»A^ = -m^x:-e 9-£戴&,应用广义动量的定义和哈密顿函数的定 乙乙 i=i\ i=i 7 义,求解哈密顿函数的表达式。 dL .4 解:应用广义动量的定义: P;=——=mx. + eA. 丈 Z C •II dxt 由上式得: “PL S) m 3 应用哈密顿函数定义:H = 2Pi*i-L i=l 得: 3 H = £p“L i=l 3 =Ea i=l _ 寸〈Pi -eA) i=l 1 = —mv + e(p m 2 - + e(p 2m ,2 .— 3 (PLA) 2,=i m2 e cp- 4. 已知复摆做为振动时的拉格朗日量可以写成: £ = ? I02 一cosf I02 一 f mglO~ 解: s[%)] = J: J% 其中/ (常量)为复摆的转动惯量张量,以为复摆的质量,/为复摆的长度。应用哈密顿原理,求 复摆的运动微分方程。 Ldt (ii、 -I02 __mgio2 dt (22y 由哈密顿原理: ds = j: {lose - mgiese^dt ie—8e-mgw§e\it fo I dt ,A . 1+ 86 dt = 1636 -1 ^10 + mgI。) §6dt =-j1 ^10 + mglO^ §6dt =0 所以运动微分方程为: 16 + mglO = 0