[精品]固体物理复习
请写出布洛赫定理,并简单地说出其物理意义。 答:对于周期性势场v(f)=v(f+jrJ,其中在“可取该晶体布拉菲格子的任何格矢,其单 电子薛定愕方程的本证函数为与何)=。*「〃后何),其中*何)=』+瓦,)。物 理意义是:在周期势场的作用下,电子波函数不再是自由电子时的平面波,而是受到周期调 幅的平面波。 在立方晶胞中,画出(102)、(021)、(122)和(2了0)晶面 从对称性看,晶体、准晶和非晶在原子排列上有什么特点?对于任何晶体,其允许的转动对 称性只能是哪些? 答:从对称性看,在原子排列上,晶体具有长程的平移对称序(周期性)和长程的取向序; 准晶只有长程的取向序而缺乏长程的平移对称序;非晶则两者皆无。对于任何晶体,其允许 的转动对称只能是:1、2、3、4、6重转动对称。 在计算晶格比热时,爱因斯坦模型和德拜模型分别做了什么近似? 答:在计算晶格比热时,爱因斯坦模型假设晶体中的各原子的振动可以看作是相互独立的, 所有原子都具有相同的振动频率。德拜模型假设晶体是各向同性的连续介质,把格波视为弹 性波。 在能带论中,电了态密度的定义是什么?假设抛物线形的色散关系,请算出在一维、二维、 三维下的电了态密度。 答:在能带论中,电子态密度的定义是(单位体积)单位能量间隔内的状态数目。 考虑一个长度为L的d维样品,在周期边界条件下,每个波矢占据的倒空间体积为: △“=[辛]°在倒空间中,位于k到k+dk壳层内状态数目为:dN = 2 因子2来自自旋自由度。其中(Jds)dk为等能面E到等能面£ + &之间的体积元。 4- 2 7 21 r a r 由自由电了的色散关系为氏)=M,可得到,电了态密度g(k) = -^— 2mL ds i 当d = l时,g(g)=]彳」]2(考虑了 k点和-k点处的等能面); h £) d = 2时,心)=当 当d=3, g0) = 土(§)幻% In n 请问能带论建立在哪些假设上? 答:能带论建立的假定为:绝热近似、平均场近似和周期势场近似。 请简要阐述声了的概念。 答:声子是晶格简谐振动的能量子,是假想粒子,反映晶格原子集体运动状态的激发单元, 是玻色了。 晶体的结合能、晶体的内能、原子间的相互作用势能有何区别? 答:自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的 能量,称为晶体的结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。 在0K时,原子还存在零点振动能,但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值 相比小得多。所以,在0K时原了间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。 长光学支格波与长声学支格波本质上有什么差别? 答:长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了 晶格振动频率最高的振动模式,长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原 胞做真题提运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数。 任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格了)晶体不存在光学支格波。 如果基矢。、b、 &构成简单正交系,证明晶面族(hkl )的面间距为 d = 理. ;说明面指数低的晶面,其面密度较大,容易解 证: 简单正交系a -Lb -Lc , ax-ai , a2=bj , a3 = ck 倒格了基矢布=2勿—三3_ ax -a2 xo3 r c a3xa} o2 = 2 勿 _ --a2 xa3 R = 2九牵S a1-a2x a3 r 2兀二r & [ ^2 =~r J打=—k bc ―►―►―►―►),力.—/ ] I ―>./ ] / ―► 侄U格子矢量6 =职+kb, +乃3 = h — i +k — j + l — k a b c 晶面族Uikl)的面间距(/ = 2勿 面指数越简单的晶面,其晶面的间距越大,晶面上格点的密度越大,这样的晶面越容 易解理。 1.设有一长度为匕的一价正负离了构成的一维晶格,正负离了间距为a,正负离了的质量 分别为以+和m-,近邻两离子的互作用势为 ,、e- b 侦=3+/ 式中e为电子电荷,力和力为参量常数,求 C1)参数b与e, 〃及a的关系; (2)恢复力系数” (3)长声学波的速度* 解:(1)若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势能取极小值, 即要求 纠=0 dr \r=a 山此得到b = n (2)恢复力系数 (3)由长声学波的频率公式 %=2』2(/叽)1 长声学波的速度 温度一定,一个光学波的声子数目多,还是声学波的声子数目多?为什么? 答:频率为力的格波的平均声子数为:。因为光学 C— 1 波的频率比声学波的频率高,在温度一定的情况下,一个光学波的声子数比一个 声学波的声子数少。 由N个碳原子组成的金刚石晶体,一个能带最多可填充多少个电子?为什么? 答:一个能带的状态数目等于该晶体的原胞数目,由N个原子组成的金刚石晶体 的原胞数目为N/2,故一个能带最多可填充N个电子。 请问固体结合有几种基本形式?请分别列出以这几种形式结合的2个典型例子。 答:固体结合有离子性结合、共价结合、金属性结合和范德瓦耳斯结合等基本形 式。以离子性结合的为离子晶体,如NaCl、CsCl晶体等;以共价结合为共价晶 体,如硅、错等;以金属性结合的为金属,如 等,以范德瓦耳斯结合的为 具有满壳层结构的惰性气体元素,如 等。 一维的单原子链,原子个数为N,原子间距为a。 1)用紧束缚近似方法求出与原子s态能级对应的能带^化); 2)求出其态密度的表达式; 3)试求该能带宽度。 答:(1) s态波函数具有球对称,由紧束缚近似方法,得 n,n 令 Jo = J(o), J,=J(R,„) 对于位于原点的原子,其最近邻的两个原子的坐标为a和-a,于是 £(k) = £, - J。- jl (eika + e- ,ka )=£i -Jo- 2Jl cos(to) C2)对于一维情况,在周期边界条件下,每个波矢占据的长度为勿,位 Na 于k到k+dk内电子态的数目(已含入自旋)为 八,-dk Na „ dN =2—— = —dk 2兀71 Na 由—=2J, a sin (知),知亦= dk72J] sin(如) u匚 eNa ds 所以 dN = 7i 2J]Qsin(k。) ,、dN Na 1 N1 g (曰=== 虹 兀2邛sin(知)7i J“—[与一人一#航2 (3)因为 s(k) = -Jo~2J, cos(ka) 故 当 *=±一时,&max(*) = 8i 一+2匕 a 当SO时,勺/)=“。-2孔 所以能带宽度△& = v