3.1.3概率的基本性质(教、学案)
3.1.3概率的基本性质 【教学目标】 1. 说出事件的包含,并,交,相等事件,以及互斥事件,对立事件的概念; 2能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质;会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。 【教学重难点】 教学重点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 教学难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算,概率的几个基本性质 【教学过程】 一、创设情境 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还 记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗? 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必 然事件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运 算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识. 二、新知探究 1. 事件的关系与运算 思考:在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: Cl= {出现1前, C2 = {出现2前, C3= {出现3前,C4= {出现4点}, C5= {出现5前,C6= {出现6点}, Dl= {出现的点数不大于1}, D2= {出现的点数大于4}, D3= {出现的点数小于6}, E= {出现的点数小于7}, F= {出现的点数大于6}, G= {出现的点数为偶数}, H= {出现的点数为奇数},等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗?类比集合与集合的关系,运算,你能发现 它们之间的关系和运算吗? 上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件? (1)显然,如果事件C1发生,则事件H一定发生,这时我们说事件H包含事件C1,记作H = Clo 一般地,对于事件A与事件B,如何理解事件B包含事件A (或事件A包含于事件B) ?特别 地,不可能事件用中表示,它与任何事件的关系怎样约定? 如果当事件A发生时,事件B一定发生,则B=A (或AcB );任何事件都包含不可能事件. (2)分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述? 一般地,当两个事件A、B满足什么条件时,称事件A与事件B相等? 若B=)A,且Az)B,则称事件A与事件B相等,记作A=B. (3) 如果事件C5发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗? 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件(或和事件),一般地,事件A与 事件B的并事件(或和事件)是什么含义? 当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件(或 和事件),记作C=AUB(或A+B). (4) 类似地,当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件 B的交事件(或积事件),记作C=AAB (或AB),在上述事件中能找出这样的例子吗? 例如,在掷骰子的试验中D2AD3=C4 (5) 两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即ACB=e,此时, 称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 例如,上述试验中的事件C1与事件C2互斥,事件G与事件H互斥。 (6) 若AQB为不可能事件,AUB为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件,其含义是: 事件A与事件B有旦只有一个发生. 思考:事件A与事件B的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交,那么事件A与事件B互 为对立事件,对应的集合A、B是什么关系? 集合A与集合B互为补集. 思考:若事件A与事件B相互对立,那么事件A与事件B互斥吗?反之,若事件A与 事件B互斥,那么事件A与事件B相互对立吗? 2. 概率的几个基本性质 思考1:概率的取值范围是什么?必然事件、不可能事件的概率分别是多少? 思考2:如果事件A与事件B互斥,则事件AUB发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系? fn(AUB)与fn(A)、fn(B)有什么关系?进一步得到P (AUB)与P(A)、P(B)有什么关系? 若事件A与事件B互斥 则AUB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且P (AUB) =P (A) + P (B),这就是概率的加法公式. 思考3:如果事件A与事件B互为对立事件,则P (AUB)的值为多少? P(AUB)与P(A)、P(B)有什么 关系?由此可得什么结论? 若事件A与事件B互为对立事件,则P (A) +P (B) =1. 思考4:如果事件A与事件B互斥,那么P (A) +P (B)与1的大小关系如何? P (A) +P (B) W1. 三、典型例题 例1如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是0. 25, 取到方片(事件B)的概率是0.25,问: (1) 取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2) 取到黑色牌(事件D)的概率是多少? 解:(1)因为C=AUB,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件,根据概率的加法公式,得 P (C) =P (AUB) = P (A) +P (B) =0.5, (2) C与D也是互斥事件,又由于CUD为必然事件,所以C与D互为对立事件,所以 P ( D) =1- P ( C) =0. 5. 点评:利用互斥事件、对立事件的概率性质求概率 变式训练1:袋中有 12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的 概率是1/3 ,得到黑球或黄球的概率是5/12,得到黄球或绿球的概率也是5/12 ,试求得到黑球、黄 球、绿球的概率分别是多少? 例2某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 事件A与事件C互斥,事件B与事件C互斥,事件C与事件D互斥且对立. 点评:学会判断互斥、对立关系 变式训练2: .从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数, 判断 下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1) 恰好有1件次品恰好有2件次品;(2)至少有1件次品和全是次品; (3) 至少有1件正品和至少有1件次品; (4)至少有1件次品和全是正品 四、课堂小结 1. 事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延具有包 含关系,艮叽对立事件} {互斥事件}. 2. 在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两 个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生. 3 .事件(A+B)或(AUB),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或AAB,表示事 件A与事件B同时发生. 4. 概率加法公式是对互斥事件而言的,一般地,P (AUB) WP (A) +P (B). 五、反馈测评 1. 某射手在一次射击训练中,射中10环、8环、7环的概率分别