2021年高考数学一轮复习讲练测专题32函数的单调性与最值讲义原卷版
『高考一轮复习-讲练测』 『分项解析•逐一击破』 奋斗 专题3.2函数的单调性与最值 【考纲解读与核心素养】 1. 理解函数的单调性,会判断函数的单调性. 2. 理解函数的最大(小)值的含义,会求函数的最大(小)值. 3. 培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养. 4. 高考预测: (1) 确定函数的最值(值域) (2) 以基本初等函数为载体,考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用(解不等 式、确定参数的取值范围、比较函数值大小)、研究函数的最值等,常与奇偶性、周期性结合,有时与导数 综合考查. 5. 备考重点: (1) 判断函数的单调性方法; (2) 求函数最值的方法; (3) 利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围. 【知识清单】 1. 函数的单调性 (1) .增函数:若对于定义域/内的某个区间的任意两个自变量也、易,当西<》2时,都有 /(%!)(x2),那么就说函数f(x)在区间。上是增函数; (2) 减函数:若对于定义域/内的某个区间的任意两个自变量也、可,当也/(x2),那么就说函数/ (X)在区间。上是减函数. 2. 函数的最值 1. 最大值:一般地,设函数y = f(x)的定义域为],如果存在实数m满足: (1)对于任意的xel,都有 ⑵存在xoel,使得/(x0) = M. 那么,我们称M是函数y = f(x)的最大值. 2. 最小值:一般地,设函数y = /(x)的定义域为],如果存在实数m满足: (1)对于任意的x&I,都有/(x)>m; (2)存在 xoel,使得/(x0) = m. 那么,我们称所是函数j = /(%)的最小值. 【典例剖析】 高频考点一单调性的判定和证明 【典例1](2020-西藏自治区高三二模(文))下列函数中,在区间(0,+勿)上为减函数的是() A. y = yjx + lB. y = x2 -1 C. V =D. y = log2 x 【典例2】用单调性定义证明函数版)=2对+4工在(一8, —1]上是单调减函数. 【规律方法】 掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法 (1)定义法:一般步骤为设元-作差-变形-判断符号-得出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的 符号,通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不 等式的性质进行判断. (2)图象法:如果Rx)是以图象形式给出的,或者/U)的图象易作出,则可由图象的直观性确定它的单调性. (3)熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性. 【变式探究】 1. (2019-贵州高三高考模拟(文))关于函数尸(%) = |》-1|-1的下列结论,错误的是() A, 图像关于x= 1对称 B, 最小值为-1 C. 图像关于点(1,-1)对称 D. 在(-co.O]上单调递减 2. (2018届河南省南阳市第一中学高三实验班)已知.(x) = 1 + 2x-x2,那么5(x) = /) A.在区间(-2,1)上单调递增B,在(0,2)上单调递增 C.在(-1,1)上单调递增D.在(1,2)上单调递增 高频考点二:求函数的单调区间 【典例3】(2019届四川省成都市第七中学)函数/(x) = ^x2-2%-8的单调递增区间是() A. (-00,-2] B. ( - oo,l] C. [1, + oo) D. [4, + oo) x,xe[0,2], 【典例4] (2019-山东省高三学业考试)已知函数/(%) 4,■, -,xg(2,4]. (I )画出函数/Xx)的大致图象; (II)写出函数/ (X)的最大值和单调递减区间 【规律方法】 确定函数的单调区间常见方法: 1 .利用基本初等函数的单调区间 2. 图象法:对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3. 复合函数法:对于函数y = f\_g(x\\,可设内层函数为“= g(x),夕卜层函数为、= /■(“),可以利用复 合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同,则函数 y = /[0的解集与函数/ (X)的定义域的交集即为函数/ (X)的单调递增区间,不等式 f\x)< 0的解集与函数/ (X)的定义域的交集即为函数/ (X)的单调递减区间. 【变式探究】 1. (2020•上海高三专题练习)设函数y = f(x)在(-8,+8)内有定义,对于给定的正数K定义函数 /(%),/(%) K.2 A. (-oo,0)B. (0, +oo)C. (-oo,-l) D. (1, +oo) 2. (2019-山西山西大附中高三月考)函数y = 10g2(/- 3x + 2)的单调递增区间是() 2 33 A ( - 8,1)B (2,+ oo)C (-8,方)D (- + 8) 【特别警示】 X 1. 单调区间必须是一个区间,不能是两个区间的并,如不能写成函数y=项在(一8, O)U(O, +oo)上是减函数, 而只能写成在(一8, 0)和(0, +Q亦 【典例 51(2019-江苏扬州中学高考模拟)设/(%)=2 ,= 0.7-0-5,b = log05 0.7,c = log07 5 , -x -l,x<0 则比较/(a),/(/?),/(c)的大小关系. 【方法总结】 先判断出函数f(x)的单调性,然后判断a,b,c之间的大小关系,利用单调性比较出f(aUE(c)之间的 大小关系.一般地,比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化 到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. 【变式探究】 (2019-天津高三期末(文))已知定义在R上的函数/ (%)满足/(3-x) = /(3 + x),且对任意%i,%2 G (0, f(x2) - f(Xl)L 3)都有<0,若a = 2-必,b = log23, c = e®,则下面结论正确的是() %2 - %1 A. /(a)(幻 (c)B. C. r(c)