2021第3章第5节利用导数解决不等式恒能成立问题
第五节利用导数解决不等式恒(能)成立问 题 套箜宣与耘课堂考点探究 (对应学生用书第56页) 考点1恒成立问题 考向1分离参数法求范围 ■通法 若Kx)Na或g(X)Wa恒成立,只需满足y(x)min^a或g(%)maxWa即可, 利用导数方法求出只X)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解. ■典例己知矣t)=xlnx, g(x) = F+履 一 x+2. (1) 求函数_Ax)的单调区间; (2) 若对任意%e(0, +8),顼力Wg°)+2恒成立,求实数。的取值范围. [解](1)因为函数J(x)=xlnx的定义域为(0, +8),所以y(x) = lnx+l.令f(x) 0,解得x>~,所以矣c)的单调递增区间是(【,+°°).综上,的单 ee 调递减区间是(0, g),单调递增区间是G,+8). (2)因为g (x) = 3X2 + 2ax — 1,由题意得2xln》W3x2 + 2ox+1恒成立.因为x >0,所以 aNlnx—|x—土在》弓(0, +8)上恒成立.设/z(x) = ln尤一*—土(x> ,1 3,1(x—1) (3x+l)1 0),则 /, (x)=g—^+w= _^2.令 h (x) = q,何 X1 = 1点2= _孑(舍). 当x变化时,hf (x),人⑴的变化情况如下表: X (0, 1) 1 (1, +°°) h\x) + 0 — h(x) 极大值 所以当》=1时,/l(X)取得极大值,也是最大值,且A(X)max = A(l)=—2,所 以若a^h(x)在尤G(0, +8)上恒成立,则6Z^/z(X)max=-2,即“N-2,故实数 [的取值范围是[—2, + °°). IE点评利用分离参数法来确定不等式只x, A)>O(x£D,人为实参数)恒成 立问题中参数取值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离,化为万(。斗⑴或/1(A)W力(%)的形式. (2) 求力⑴在xGD时的最大值或最小值. (3) 解不等式力(人)专(x)max或万(。母(x)min,得到A的取值范围. 考向2把参数看作常数利用分类讨论方法解决 匾通法对于不适合分离参数的不等式,常常将参数看作常数直接构造函数, 常用分类讨论法,利用导数研究单调性、最值,从而得出参数范围. 聘典例已知函数»=ln x~ax, a eR. (1) 求函数Rx)的单调区间; (2) 若不等式Rx)+aVO在%e(L +8)上恒成立,求。的取值范围. [解](1)函数矣t)的定义域为(0, +8), f (%)=--a. X ① 当aWO时,f (x)>0恒成立, 则九X)只有单调递增区间是(0, +8). ② 当。>0时,由/(x)>0, 得 0g⑴=0, 即0g⑴=o, 即aWO时不满足题意(舍去). 综上所述,实数a的取值范围是[1, +°°), 曜典题 已知J(x)=ax2~21nx, a^R. (1) 讨论函数RO的单调性; (2) 若对任意的x>Q, 2—y(x)0,所以原命题等价于。营(*:„) •在区间(0, +8)内恒成立. 令 g(x)= 2 (lnx+x+1) 2%+x2 则 g 3)= —2 (x+1) (21nx+x) (2%+x2) 2 令/z(x) = 21nx+x,易知/z(x)在(0, +8)内单调递增. 又 /z(0.5)=—21n 2+0.5VO, /z(l)=l>0,故存在唯一的 xoe(O.5, 1),使得 /z(xo) = O. 当 0XQ 时,/z(x)>0, 即g 3)V0, g⑴单调递减. 故函数g(x)的极大值为g(xo),也为最大值,且2lnxo+xo = O, 〜,2 (inxo+xo+1) xo+2 1 所以 g(X)max =—五声=%0 U + 2)=-> 所以X-e(l, 2),且a为整数, xo %0 故整数a的最小值为2. 考点2能成立问题 ■通法 存在 [a, b], Kx)Na 成立R/3)maxNa. 存在 [a, b], j(x)Wa 成立a/(x)minWa. 存在 X\^[a, b],对任意 X2^[a,》],y(Xl)Wg(X2)成立a/3)minWg(》)min. 够典例 已知函数y(x) = 31nx—g(x)=3x-\-a. (1) 若Rx)与g(x)的图象相切,求a的值; (2) 若Mo>O,使/(xo)>g3))成立,求参数。的取值范围. 3 [解](1)由题意得,f (%)=--%+1, g 3) = 3,设切点为(的,>o)),贝[以 人 31 =/(^o)=——xo +1=3,解得尤o=l或xo=—3(舍),所以切点为(1,说,代入g(x) 尤0Z = 3x+q,得 o= —2- (2)设 h(x) = 31n %—|x2—2x. 3xo>O,使/(xo)>g3o)成立, 等价于 3x>0,使 h(x) = 31n x—^x2 — 2x>a 成立, 等价于 6Z0). ,、.3—x2—2工+3 因为 h,(x)=—x-2= XX (x—1) (x+3) x