20212022高中数学人教版选修21作业232双曲线的简单几何性质系列三
2. 3. 2双曲线的简单几何性质 基础巩固 —、选择题 1. 以椭圆东+号=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为() A 至_艺一1B止_空-1 a. ]6 48- 113 9 27 ~ 1 C.制-如=1或芸-切=1D.以上都不对 [答案]C [详细分析]当顶点为(±4,0)时,a = 4, c = 8, b = 4g 双曲线方程为书-云=1;当顶 点为(0, ±3)时,a = 3, c = 6, b = 3& 双曲线方程为号-与。 2. 双曲线x2-/= 1的顶点到其渐近线的距离等于() A. |B.乎 C. 1D.李 [答案]B [详细分析]双曲线对_时=1的一个顶点为人(1,0),一条渐近线为y = x,则A(l,0)到y =x距离为^ = * =辛 3. 椭圆翥+§=1和双曲线奈弋=1有共同的焦点,则实数77的值是() A. ±5B. ±3 C. 25D. 9 [答案]B [详细分析]依题意,34 -/ = /+16,解得〃 =±3,故答案为B. 4. 若实数*满足0*5,则曲线东-孑匕=1与曲线溢元一普=1的() A.实半轴长相等B.虚半轴长相等 C.离心率相等D.焦距相等 [答菊D [详细分析].••()<奴5, .•.两方程都表示双曲线,由双曲线中(2 = a1 + b1得其焦距相等, 选D. 5. (2015-全国卷I理)已知M(xo,刘)是双曲线C: y-y2=l上的一点,Fi,凡是C的两 个焦点.若则yo的取值范围是() A (吏0r(_盅也、 A. (- 3,3)B. (- 6 , 6) \3 5 3 [答案]A [详细分析]由双曲线方程可知Fi(-V3, 0), F皿,0), :mPi-mP2l C. m>lD. m>2 [答案]C [详细分析]本题考查双曲线离心率的概念,充分必要条件的理解. 双曲线离心率e = y[l^i>y[2,所以m>l,选C. 二、填空题 7. 双曲线书-成=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项, 则P点到左焦点的距离为. [答菊13 [详细分析]由a = 4,。= 3,得c = 5.设左焦点为Fi,右焦点为% |PF2| =+ c + c -a) = c = 5,由双曲线的定义,得PFi| = 2a + |PF2| = 8 + 5 = 13. 8. 已知双曲线G:涩-左=l(a>0,》>0)与双曲线0:厂布=1有相同的渐近线,且 G的右焦点为「(仍,0),则”, b =• [答案]1 2 [详细分析]利用共渐近线方程求解. 与双曲线于-#= 1有共同渐近线的双曲线的方程可设为*-疝=2,即会一七=1•由题 意知c = B则4人+⑹=5瑚日, 则 a2 = 1, b2 = 4.又 a>0, b>0,故 q = 1, b = 2. 9. (2015-天津市六校联考)已知双曲线方-乔=l(a>0, Q0)和椭圆书+芸=1有相同的焦 点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为. x2 v2 [答案] [详细分析】椭圆中,〃=16, b2 = 9, :.c2 = a2-b^ = l, 离心率ei=g 焦点(瑚,0), •.•双曲线的离心率e2 = 3 =斗,焦点坐标为(瑚,0), • •c = a/7 , a = 2,从而 b1 =二 - * = 7, 双曲线方程为*-普=1. 三、解答题 10. (1)求与椭圆3 + %=1有公共焦点,且离心率e=辛的双曲线的方程; (2)求虚轴长为12,离心率为j的双曲线的标准方程. [详细分析]⑴设双曲线的方程为产-产1=1(40)或乒-* = 1 (a>0, Z?>0). 由题设知23=12,号《且凌二鬼+朋, .・ b = 6, c — 10, ci — 8. 双曲线的标准方程为向-东=1或舄-宝=L 能力拓展提升 _、选择题 1-已知方程ax2-ay2 = b,且a、Z?异号,则方程表示() A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线 [答案]D [详细分析]方程变形为y-f =1,由a、力异号知打<0,故方程表示焦点在〉轴上的双 曲线,故答案为D. 2. (2015-济南质检)已知双曲线芸-§=1的一个焦点在圆x2 + v2-4x-5 = 0±,则双曲 线的渐近线方程为() 3 A. y = ±^x c. > =琴》 [答案]B [详细分析]L.方程表示双曲线,函>0, 将=9, 〃 = 〃z, c2 = a2 + b2 = 9 + m,c = \j9 + m, •双曲线的一个焦点在圆上,奸嘉是方程对-4工-5 = 0的根,.•.好福=5, :.m = 16, 4 •.•双曲线的渐近线方程为y = ±芋,故选B. 3. 若双曲线京%= l(a>0M>。)的实轴长是焦距的5,则该双曲线的渐近线方程是() A. y = ±2 xB. y = ±\[2x C. y =D. y = ±2\/2x [答案]c [详细分析]由题意可知2a=jx2c = c, 则 4, = c2 = + Z?2, 7?2h 解得灸=3,所以{ = 3, 所以该双曲线的渐近线方程是y =或工 4. (2015-安徽理)下列双曲线中,焦点在〉轴上且渐近线方程为y = ±2x的是() A.必一;=1B . — -y2 = 1 C.才一》2=1D.寸-*=1 [答案]C [详细分析]由双曲线的焦点在y轴上,排除A、B; 对于D,渐近线方程为》=±^ , 而对于C,渐近线方程为y = ±2x.故选C. 二、填空题 5. (2015-三峡名校联盟联考)已知双曲线*-讣=l(a>0,力>0)的一条渐近线方程为x- ^22 2y = 0,则椭圆务+ *=1的离心率。=. [答案]乎 b 1 [详细分析]由条件知折=],即a = 2b, c2 = a1-b2 = 3Z?2, c =吏b, ._ c _ y/ib _ “e = a= 2/ 2 . 6. 已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的点 的最近距离为4,则双曲线的标准方程为