在职研究生考试数学测试练习题
在职探讨生考试数学测试练习题 微积分 (1)设是微分方程的满意,的解,则() (A)等于0.(B)等于1.(C)等于2.(D)不存在. 解, 将代入方程,得,又,,故, 所以,选择B. (2)设在全平面上有,,则保证不等式成立的条件是() (A),.(B),. (C),.(D),. 解关于单调削减, 关于单调增加, 当,时,,选择A. (3)设在存在二阶导数,且,当时有,,则当时有() (A). (B). (C). (D). 解【利用数形结合】 为奇函数,当时,的图形为递减的凹曲线,当时,的图形为递减的凸曲线,选择D. (4)设函数连续,且,则存在,使得() (A)在内单调增加 (B)在内单调削减 (C)对随意的,有 (D)对随意的,有 解【利用导数的定义和极限的保号性】, 由极限的的保号性,,在此邻域内,,所以对随意的,有,选择D. (5) 函数在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而,, ,,, 所以,函数f (x)在(-1 , 0)内有界,故选(A). 【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间[a , b]上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (6)设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义,且, ,则 (A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的其次类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元, 可将极限转化为. 【详解】因为= a(令),又g(0) = 0,所以, 当a = 0时,,即g(x)在点x = 0处连续,当a ¹ 0时, ,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性 与a的取值有关,故选(D). 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (7) 设f (x) = |x(1 - x)|,则 (A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义推断极值状况, 考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,推断拐点状况. 【详解】设0 f (a). (B) 至少存在一点,使得> f (b). (C) 至少存在一点,使得. (D) 至少存在一点,使得= 0.[ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由解除法可选出错误选项. 【详解】首先,由已知在[a , b]上连续,且,则由介值定理, 至少存在一点,使得; 另外,,由极限的保号性,至少存在一点 使得,即. 同理,至少存在一点 使得. 所以,(A) (B) (C)都正确,故选(D). 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有肯定的难度. (10)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则 (A) . (B) . (C) . (D) . [ A] 【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解. 【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,明显当时, ,故应选(A). (11)设函数在处连续,且,则 (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ C ] 【分析】从入手计算,利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知,.又因为在处连续,则 . 令,则. 所以存在,故本题选(C). (12)若级数收敛,则级数 (A) 收敛 . (B)收敛. (C) 收敛. (D) 收敛. [ D ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由收敛知收敛,所以级数收敛,故应选(D). 或利用解除法: 取,则可解除选项(A),(B); 取,则可解除选项(C).故(D)项正确. (13)设非齐次线性微分方程有两个不同的解为随意常数,则该方程的通解是 (A). (B). (C). (D) [ B ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解,所以它的