在职研究生考试数学测试练习题

在职探讨生考试数学测试练习题 微积分 （1）设是微分方程的满意，的解，则（） （A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在. 解， 将代入方程，得，又，，故， 所以，选择B. （2）设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是（） （A），.（B），. （C），.（D），. 解关于单调削减， 关于单调增加， 当，时，，选择A. （3）设在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有（） （A）. （B）. （C）. （D）. 解【利用数形结合】 为奇函数，当时，的图形为递减的凹曲线，当时，的图形为递减的凸曲线，选择D. （4）设函数连续，且，则存在，使得（） （A）在内单调增加 （B）在内单调削减 （C）对随意的，有 （D）对随意的，有 解【利用导数的定义和极限的保号性】， 由极限的的保号性，，在此邻域内，，所以对随意的，有，选择D. 5 函数在下列哪个区间内有界. A -1 , 0.B 0 , 1.C 1 , 2.D 2 , 3. [ A ] 【分析】如f x在a , b内连续，且极限与存在，则函数f x 在a , b内有界. 【详解】当x 0 , 1 , 2时，f x连续，而，， ，，， 所以，函数f x在-1 , 0内有界，故选A. 【评注】一般地，如函数f x在闭区间[a , b]上连续，则f x在闭区间[a , b]上有界；如函数f x在开区间a , b内连续，且极限与存在，则函数f x在开区间a , b内有界. （6）设f x在- , 内有定义，且， ，则 A x 0必是gx的第一类间断点.B x 0必是gx的其次类间断点. C x 0必是gx的连续点. D gx在点x 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g0即可，通过换元， 可将极限转化为. 【详解】因为 a令，又g0 0，所以， 当a 0时，，即gx在点x 0处连续，当a 0时， ，即x 0是gx的第一类间断点，因此，gx在点x 0处的连续性 与a的取值有关，故选D. 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 7 设f x |x1 - x|，则 A x 0是f x的极值点，但0 , 0不是曲线y f x的拐点. B x 0不是f x的极值点，但0 , 0是曲线y f x的拐点. C x 0是f x的极值点，且0 , 0是曲线y f x的拐点. D x 0不是f x的极值点，0 , 0也不是曲线y f x的拐点.[ C ] 【分析】由于f x在x 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义推断极值状况， 考查f x在x 0的左、右两侧的二阶导数的符号，推断拐点状况. 【详解】设0 d 1，当x -d , 0 0 , d时，f x 0，而f 0 0，所以x 0是f x 的微小值点. 明显，x 0是f x的不行导点. 当x -d , 0时，f x -x1 - x，， 当x 0 , d时，f x x1 - x，，所以0 , 0是曲线y f x的拐点. 故选C. 【评注】对于极值状况，也可考查f x在x 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来推断. 8 设有下列命题 1 若收敛，则收敛. 2 若收敛，则收敛. 3 若，则发散. 4 若收敛，则，都收敛. 则以上命题中正确的是 A 1 2.B 2 3.C 3 4.D 1 4.[ B ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】1是错误的，如令，明显，分散，而收敛. 2是正确的，因为变更、增加或削减级数的有限项，不变更级数的收敛性. 3是正确的，因为由可得到不趋向于零n ，所以发散. 4是错误的，如令，明显，，都发散，而 收敛. 故选B. 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. 9 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 A 至少存在一点，使得 f a. B 至少存在一点，使得 f b. C 至少存在一点，使得. D 至少存在一点，使得 0.[ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由解除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知在[a , b]上连续，且，则由介值定理， 至少存在一点，使得； 另外，，由极限的保号性，至少存在一点 使得，即. 同理，至少存在一点 使得. 所以，A B C都正确，故选D. 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有肯定的难度. （10）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 A . B . C . D . [ Ａ] 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，明显当时， ，故应选Ａ. （11）设函数在处连续，且，则 A 存在 B 存在 C 存在 D存在 [ C ] 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （12）若级数收敛，则级数 A 收敛 . （B）收敛. C 收敛. D 收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选Ｄ. 或利用解除法 取，则可解除选项（Ａ），（Ｂ）； 取，则可解除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （13）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为随意常数，则该方程的通解是 （Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ Ｂ ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的