极坐标参数方程15道典型题(有答案)
极坐标与参数方程15道典型题 1在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为,. (1)求与的直角坐标方程,并求出与的交点坐标; (2)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为(为参数,),求的值. (1)由极直互化公式得: ………4分 联立方程解得交点坐标为 ………5分 (2)由(1)知:, 所以直线:, 化参数方程为普通方程:, 对比系数得: ,………10分 2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(是参数,是常数) (1)求的直角坐标方程和的普通方程; (2)若与有两个不同的公共点,求的取值范围. 解:(1)由极直互化公式得,所以;---------------2分 消去参数得的方程: ----------------------4分 (2)由(1)知是双曲线,是直线,把直线方程代入双曲线方程消去得: ,-------------------------7分 若直线和双曲线有两个不同的公共点, 则, 解得:-----------10分 3.已知椭圆,直线(为参数). (I)写出椭圆的参数方程及直线的普通方程; (II)设,若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等,求点的坐标. 解:(Ⅰ)C:(θ为为参数),l:x-y+9=0.…4分 (Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),则|AP|==2-cosθ, P到直线l的距离d==. 由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=, cosθ=-. 故P(-,).…10分 4在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2. (Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程; (Ⅱ)求曲线C2上的点到直线ρcos(θ+)=的距离的最大值. 解:(Ⅰ)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有ρ1sinθ=2,ρρ1=4. 消去ρ1,得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.………………………………5分 (Ⅱ)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=, 故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.………………………………10 5.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为。现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数)。 (1) 写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (2) 设直线和曲线交于两点,定点,求的值。 【解】 (1),所以。 所以,即。………………………… 直线的普通方程为。…………………………………… (2) 把的参数方程代入得:。 设对应参数分别为,则,点显然在上, 由直线参数的几何意义知。………………………… 6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ. (Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程; (Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. .解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ. ∴ρ2=2,化为x2+y2=, 配方为=3. ……5分 (II)设P,又C. ∴|PC|==≥2, 因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0). ……10分 7.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M、N分别为C与x轴、y轴的交点. (Ⅰ)写出C的直角坐标方程,并求出M、N的极坐标; (Ⅱ)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 解:(1)将极坐标方程ρcos=1化为: ρcosθ+ρsinθ=1. 则其直角坐标方程为:x+y=1,M(2,0),N(0,),其极坐标为M(2,0),N. (2)由(1)知MN的中点P. 直线OP的直角坐标方程为y=x,化为极方程为:ρsinθ=·ρcosθ. 化简得tanθ=,即极坐标方程为θ=. 8.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ = . (Ⅰ)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值. 【解答】(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系, 曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=, 根据ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为. (Ⅱ)设Q,则点Q到直线l的距离为 =, 当且仅当,即(k∈Z)时取等号. ∴Q点到直线l距离的最小值为. 9.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程; (Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|. (II)根据(I)将求出曲线C1的极坐标方程,分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1,以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求. 【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C1上, 所以即 从而C2的参数方程为 (α为参数) (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ. 射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin, 射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin. 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=. 10.设圆C的极坐标方程为ρ=2,以极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,两坐标系长度单位一致,建立平面直角坐标系.过圆C上的一点M(m,s)作垂直于x轴的直线l:x=m,设l与x轴交于点N,向量. (Ⅰ)求动点Q的轨迹方程; (Ⅱ)设点R(1,0),求的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)由已知得N是坐标(m,0), 设Q(x,y),由,得 ,则, ∵点M在圆ρ=2上,即在m2+s2=4上, ∴, ∴Q是轨迹方程为 ; (Ⅱ)Q点的参数方程为, ∴ . 则的最小值为. 11.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线C的极坐标方程. (Ⅰ)判断直线l与曲线C的位置关系; (Ⅱ)设M为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围. 【解答】