极坐标参数方程15道典型题(有答案)

极坐标与参数方程15道典型题 1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆，直线的极坐标方程分别为，． （1）求与的直角坐标方程，并求出与的交点坐标； （2）设为的圆心，为与交点连线的中点．已知直线的参数方程为（为参数，），求的值． （1）由极直互化公式得 4分 联立方程解得交点坐标为 5分 （2）由（1）知， 所以直线， 化参数方程为普通方程， 对比系数得 ，10分 2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数，是常数） （1）求的直角坐标方程和的普通方程； （2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围. 解（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分 消去参数得的方程 ----------------------4分 （2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得 ，-------------------------7分 若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则， 解得-----------10分 3.已知椭圆，直线（为参数）． （I）写出椭圆的参数方程及直线的普通方程； （II）设，若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等，求点的坐标． 解（Ⅰ）C（θ为为参数），lx－y＋9＝0．4分 （Ⅱ）设P2cosθ，sinθ,则|AP|＝＝2－cosθ， P到直线l的距离d＝＝． 由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝， cosθ＝－． 故P－，．10分 4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP||OM|＝4，记点P的轨迹为C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcosθ＋＝的距离的最大值． 解（Ⅰ）设Pρ，θ，Mρ1，θ，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4． 消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．5分 （Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2x2＋y－12＝1，C3x－y＝2． C2是以点0，1为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝， 故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋．10 5.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）。 （1） 写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2） 设直线和曲线交于两点，定点，求的值。 【解】 （1），所以。 所以，即。 直线的普通方程为。 （2） 把的参数方程代入得。 设对应参数分别为，则，点显然在上， 由直线参数的几何意义知。 6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ2sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程； （Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． .解（I）由⊙C的极坐标方程为ρ2sinθ． ∴ρ22，化为x2y2， 配方为3． 5分 （II）设P，又C． ∴|PC|≥2， 因此当t0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）． 10分 7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点． （Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标； （Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 解1将极坐标方程ρcos＝1化为 ρcosθ＋ρsinθ＝1. 则其直角坐标方程为x＋y＝1，M2,0，N0，，其极坐标为M2,0，N. 2由1知MN的中点P. 直线OP的直角坐标方程为y＝x，化为极方程为ρsinθ＝ρcosθ. 化简得tanθ＝，即极坐标方程为θ＝. 8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2，直线l的极坐标方程为ρ ． （Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值． 【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系， 曲线C1的极坐标方程为ρ2，直线l的极坐标方程为ρ， 根据ρ2x2y2，xρcosθ，yρsinθ， 则C1的直角坐标方程为x22y22，直线l的直角坐标方程为． （Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为 ， 当且仅当，即（k∈Z）时取等号． ∴Q点到直线l距离的最小值为． 9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2 （Ⅰ）求C2的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|． （II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB||ρ2﹣ρ1|求出所求． 【解答】解（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上， 所以即 从而C2的参数方程为 （α为参数） （Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ8sinθ． 射线θ与C1的交点A的极径为ρ14sin， 射线θ与C2的交点B的极径为ρ28sin． 所以|AB||ρ2﹣ρ1|． 10．设圆C的极坐标方程为ρ2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点M（m，s）作垂直于x轴的直线lxm，设l与x轴交于点N，向量． （Ⅰ）求动点Q的轨迹方程； （Ⅱ）设点R（1，0），求的最小值． 【解答】解（Ⅰ）由已知得N是坐标（m，0）， 设Q（x，y），由，得 ，则， ∵点M在圆ρ2上，即在m2s24上， ∴， ∴Q是轨迹方程为 ； （Ⅱ）Q点的参数方程为， ∴ ． 则的最小值为． 11．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程． （Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系； （Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求xy的取值范围． 【解答】