四边形知识点与经典例题
四边形学问点与经典例题 第十九章 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 定 义 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 性 质 1对边平行且相等。 2对角相等,邻角互补。 3对角线相互平分 1四个角都是直角。 2对角线相等。 1四条边都相等。 2两条对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角。 具有平行四边形、矩形、菱形的全部特征。 1两腰相等两底平行 2同一底上的两角相等 3两条对角线相等 判 定 1定义: 2判定定理: (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4)对角线相互平分的四边形是平行四边形。 1定义: 2判定定理: (1)对角线相等的平行四边形是矩形。 (2)有三个角是直角的四边形是矩形。 1定义: 2判定定理: (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)对角线相互垂直的四边形是菱形。 (1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。 (2)先证明是菱形再证一个角是直角。 1定义:先推断是梯形在证明两腰相等。 2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3对角线相等的梯形是等腰梯形。 对称性 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 (三)1.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。 2.由矩形的性质得到直角三角形的一特性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1:如图1,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F. 求证:∠BAE =∠DCF. (图1) C A B D E F 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABE =∠CDF,AB= CD. 又∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB =∠CFD = 90°, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF. O A B C D E F (图2) 例2如图2,矩形ABCD中,AC及BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F. 求证:BE = CF. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OB = OC. 又∵BE⊥AC,CF⊥BD,∴∠BEO =∠CFO = 90º. ∵∠BOE =∠COF. ∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF. A B C D 图3 E F 例3已知:如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,点E、F分别在AB、CD上,且BE = 2EA,CF = 2FD. 求证:∠BEC =∠CFB. 证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC, ∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵AB = DC,BE = 2EA,CF = 2FD, ∴BE = CF. ∵BC = CB, ∴△BEC≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB. A D B C E F (图6) M N 例4如图6,E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点,且AE = CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试推断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB = CD,∠A =∠C. ∵AE = CF,∴△ABE≌△CDF. (2)解析: 四边形MFNE是平行四边形. ∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB =∠CFD,BE = DF. 又∵M、N分别是BE、DF的中点,∴ME = FN. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB∥DF,即ME∥FN. ∴四边形MFNE是平行四边形. 评注:本题是一道猜想型问题. 先猜想结论,再证明其结论. 图7 A B C D E F O 例5如图7, ABCD的对角线AC的垂直平分线及边AD,BC分别相交于点E,F. 求证:四边形AFCE是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF是AC的垂直平分线, ∴OA = OC,∠EOA =∠FOC,EA = EC. 图8 B C D A E F ∴△EOA≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EA = EC, ∴四边形AFCE是菱形. 例6如图9,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点. (1)假如,则△DEC≌△BFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件); (2)证明你的结论. 解析:本题是一道条件开放型问题,答案不唯一. (1)①AE=CF;②OE = OF;③DE⊥AC,BF⊥AC;④DE∥BF等. (2)①证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB = CD,AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF. A B C D 图10 E G O F ∵AE=CF,∴AC-AE = AC-CF,即AF = CE. ∴△DEC≌△BFA. 例7如图10,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不及B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C. (1)求证:四边形EFOG的周长等于2OB; (2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明. 解析:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC, ∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵BC = CB,AB = DC, ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC. 又∵EG∥AC,∠ACB =∠GEB. ∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG. ∵EG∥OC,EF∥OG, ∴四边形EGOF是平行四边形. ∴OE = OF,EF = OG. 图11 B A D C O F E G ∴四边形EGOF的周长 = 2(OG+GE)= 2(OG+GB)= 2OB. (2)如图11,已知在矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不及B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C. 求证:四边形EFOG的周长