四边形知识点与经典例题

四边形学问点与经典例题 第十九章 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 定 义 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 性 质 1对边平行且相等。 2对角相等，邻角互补。 3对角线相互平分 1四个角都是直角。 2对角线相等。 1四条边都相等。 2两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 具有平行四边形、矩形、菱形的全部特征。 1两腰相等两底平行 2同一底上的两角相等 3两条对角线相等 判 定 1定义 2判定定理 （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线相互平分的四边形是平行四边形。 1定义 2判定定理 （1）对角线相等的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 1定义 2判定定理 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线相互垂直的四边形是菱形。 1先证明是矩形再证明一组邻边相等。 （2）先证明是菱形再证一个角是直角。 1定义先推断是梯形在证明两腰相等。 2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3对角线相等的梯形是等腰梯形。 对称性 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 （三）1．三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一特性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证∠BAE ∠DCF. （图1） C A B D E F 证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE ∠CDF，AB CD. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB ∠CFD 90， ∴△ABE≌△CDF. ∴∠BAE ∠DCF. O A B C D E F （图2） 例2如图2，矩形ABCD中，AC及BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证BE CF. 证明∵四边形ABCD是矩形， ∴OB OC. 又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO ∠CFO 90. ∵∠BOE ∠COF. ∴△BOE≌△COF. ∴BE CF. A B C D 图3 E F 例3已知如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE 2EA，CF 2FD. 求证∠BEC ∠CFB. 证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC ∠DCB. 又∵AB DC，BE 2EA，CF 2FD， ∴BE CF. ∵BC CB， ∴△BEC≌△CBF. ∴∠BEC ∠CFB. A D B C E F 图6 M N 例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE CF. （1）求证△ABE≌△CDF； （2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试推断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD，∠A ∠C. ∵AE CF，∴△ABE≌△CDF. （2）解析 四边形MFNE是平行四边形. ∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB ∠CFD，BE DF. 又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME FN. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB ∠FBE. ∴∠CFD ∠FBE. ∴EB∥DF，即ME∥FN. ∴四边形MFNE是平行四边形. 评注本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 图7 A B C D E F O 例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线及边AD，BC分别相交于点E，F. 求证四边形AFCE是菱形. 证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAC ∠FCA. ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA OC，∠EOA ∠FOC，EA EC. 图8 B C D A E F ∴△EOA≌△FOC . ∴AE CE. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EA EC， ∴四边形AFCE是菱形. 例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点. （1）假如，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 解析本题是一道条件开放型问题，答案不唯一. （1）①AECF；②OE OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等. （2）①证明∵四边形ABCD是矩形， ∴AB CD，AB ∥ CD. ∴∠DCE ∠BAF. A B C D 图10 E G O F ∵AECF，∴AC－AE AC－CF，即AF CE. ∴△DEC≌△BFA. 例7如图10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不及B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C. （1）求证四边形EFOG的周长等于2OB； （2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明. 解析（1）证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC ∠DCB. 又∵BC CB，AB DC， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ACB ∠DBC. 又∵EG∥AC，∠ACB ∠GEB. ∴∠DBC∠GEB. ∴EG BG. ∵EG∥OC，EF∥OG， ∴四边形EGOF是平行四边形. ∴OE OF，EF OG. 图11 B A D C O F E G ∴四边形EGOF的周长 2（OG＋GE） 2（OG＋GB） 2OB. （2）如图11，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不及B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C. 求证四边形EFOG的周长