四年级奥数-找规律(教案含答案)
雅智教化 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 第一讲:规律性问题 教学目标 1、 学会从简洁问题入手找规律 2、 能够利用数论、几何等专题解周期性问题 3、 归纳找规律问题的解题思想 学问点拨 一、学问点说明 同学们在探究某一类事物的性质或它们之间的关系的时候,常常从视察详细事物入手,通过分析、揣测、验证,找出这类事物的一般属性。这种“从特别到一般的推理方法”,叫做归纳法,或者称之为找规律,很多人也称之为周期问题。 二、考点总结 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考,但考题的分值较低,多以填空题型是出现。这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奇妙,即是在考察我们的数感和归纳实力,这种实力不是与生俱来的,是和我们日常积累分不开的,正所谓见多识广吧。所以找规律这类题目,须要同学们养成细视察、勤思索的习惯,不断提高归纳实力。 找规律是解决数学问题的一种重要的手段,而规律的找寻既须要敏锐的视察力,又须要严密的逻辑推理实力. 三、提炼思想 找规律是奥数里最重要的思想之一,很多难题都是靠这种方法解决的,要求我们能够视察数列或数表中每一个数自身的特征(如奇偶性,整除性,是否为质或者合数等等)、相邻数之间的差或商的改变特征(常见的有等差数列,等比数列,斐波那契数列,复合数列等等),有时候还须要考虑连续多个数之间的和差倍关系,甚至对于某个自然数的余数数列等等,所以同学们要好好的体会这种思想方法,争取在奥数的学习中能够克服难题,取得进步。 例题精讲 模块一、数论部分 【例 1】 下面各列数中都有一个“别出心裁”的数,请将它们找出来: (1) 3,5,7,11,15,19,23,…… (2) 6,12,3,27,21,10,15,30,…… (3) 2,5,10,16,22,28,32,38,24,…… (4) 2,3,5,8,12,16,23,30,…… 【解析】 这四个别出心裁的数依次是:15,10,5,16。因为:(1) 除了15其余都是质数;(2)除了10其余都是3的倍数;(3) 除了5其余都是偶数;(4)相邻两数之间的差依次是1,2,3,4,5,6,……,成等差数列。注:本题答案不唯一,只要学生说明白道理就算正确。 【例 2】 在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数字之和的个位数字,那么在这串数中,能否出现相邻的四个数依次是2,0,0,8 ? 1,9,9,9,8,5,1,3,7,6,7,3,3,9,2,7,1,9,9,6,…… 【解析】 运用奇偶性进行分析,这些数的奇偶性依次是:奇,奇,奇,奇,偶,奇,奇,奇,奇,偶,奇,奇,奇,奇,偶,奇,奇,奇,奇,偶,……四个奇数一个偶数循环出现,而2,0,0,8均为偶数,必定不会出现在相邻的位置上。 【例 3】 数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,……一共2005项,其中共有多少个是6的倍数? 这串数从第三个起,每个数都是它前面两个数的和,所以这是一个菲波那契数列,这串数除以6的余数依次是:1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,……,留意:计算余数的时候不用把原数计算出来,可以干脆用菲波那契数列的规律计算余数,如前两个数是5,2,则下一个数是(5+2)÷6的余数为1 。余数数列从第一个起,每24个循环一次,每一次循环中有两个数是6的倍数,而2005 =24×83+13,所以这2005个数中一共有2×83+1=167个是6的倍数 模块二、几何部分 【例 4】 视察图形的改变,想一想,按图形的改变规律,在带“?”的空格处应画什么样的图形? 【解析】 横着看,每行圆形的个数一次削减,而三角形的个数依次增加,但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、?、1的依次改变的,明显“?”处应填一个圆形。 【例 5】 视察下面的图形,按规律在“?”处填上适当的图形. 【解析】 本题中,几何图形的改变表现在数量关系上,图中黑三角形的个数从左到右依次增多,从(2)起,每一个格比前面一个格多两个黑三角形,所以,第(4)个方框中应填七个黑三角形. 【巩固】 视察图形改变规律,在右边补上一幅,使它成为一个完整系列。 【解析】 视察发觉,乌龟的依次是:头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点,依据这个规律,最终一幅图应当是:→四只脚、一条尾、背上五个点.即: 【巩固】 视察图形改变规律,在右边再补上一幅,使它们成为一个完整的系列. 【解析】 第一格有8个圆圈,其次格有4个圆圈,第三格有2个圆圈,第四格有1个圆圈,第五格有半个圆圈.由此发觉,前一格中的图削减一般,正好是后一格的图.所以第六格的图应当是第五格图的一半,即: 练习1. 视察图形的改变,想一想,按图形的改变规律,在带“?”的空格处应画什么样的图形? 【解析】 (方法一)横着看,每行圆形的个数一次削减,而三角形的个数依次增加,但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、?、1的依次改变的,明显“?”处应填一个圆形. (方法二)竖着看,圆形由左而右依次削减,而三角形由左而右依次增加,圆形依据5、4、?、2、1的依次改变,也可以看出 “?”处应是圆形. 练习2. 视察下面由点组成的图形(点群),请回答: (1)方框内的点群包含多少个点? (2)第(10)个点群中包含多少个点? (3)前十个点群中,全部点的总数是多少? 【解析】 (1)数一数可知:前四个点群中包含的点数分别是:1,4,7,10.可以看出,在每相邻的两个数中,后一个数都比前一个数大3.因为方框内应是第(5)个点群,它的点数应当是10+3=13(个). (2)列表,依次写出各点群的点数, 可知第(10)个点群包含有28个点. (3) 前十个点群,全部点的总数是:1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145(个) 练习3. 下面是两个依据肯定规律排列的数字三角形,请依据规律填上空缺的数: 【解析】 (1)这个是著明的“杨辉三角”,其最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。( )处分别填上5、20。其实,中国古代数学家在数学的很多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉绚丽的篇章,而杨辉三角的发觉就是非常精彩的一页。杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。 (2) 每行第个数等于该行第一个数的倍,故上、下空缺的数分别为20和14。