含绝对值一次方程的解法
含肯定值一次方程及方程组的解法 一、肯定值的代数和几何意义。 肯定值的代数意义:正数的肯定值是它本身;负数的肯定值是它的相反数;零的肯定值是零。 用字母表示为 肯定值的几何意义:表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的肯定值是非负 数。 依据肯定值的意义,我们可以得到: 当 > 0时 x =± | x | = 当 = 0时 x = 0 当 < 0时 方程无解. 二、含肯定值的一次方程的解法 (1)形如型的肯定值方程的解法: ①当时,依据肯定值的非负性,可知此时方程无解; ②当时,原方程变为,即,解得; ③当时,原方程变为或,解得或. (2)形如型的肯定值方程的解法: ①依据肯定值的非负性可知,求出的取值范围; ②依据肯定值的定义将原方程化为两个方程和; ③分别解方程和; ④将求得的解代入检验,舍去不合条件的解. (3)形如型的肯定值方程的解法: ①依据肯定值的定义将原方程化为两个方程或; ②分别解方程和. (4)形如型的肯定值方程的解法: ①依据肯定值的几何意义可知; ②当时,此时方程无解;当时,此时方程的解为;当时,分两 种状况:①当时,原方程的解为;②当时,原方程的解为. (5)形如型的肯定值方程的解法: ①找肯定值零点:令,得,令得; ②零点分段探讨:不妨设,将数轴分为三个区段,即①;②;③; ③分段求解方程:在每一个区段内去掉肯定值符号,求解方程并检验,舍去不在区段内的解. (6)形如型的肯定值方程的解法: 解法一:由内而外去肯定值符号: 依据零点分段探讨的方式,由内而外逐层去掉肯定值符号,解方程并检验,舍去不符合条件的解. 解法二:由外而内去肯定值符号: ①依据肯定值的非负性可知,求出的取值范围; ②依据肯定值的定义将原方程化为两个肯定值方程和 ; ③解②中的两个肯定值方程. 三、热身练习: 1、 求下列方程的解: (1)| x | = 7; (2)5 | x | = 10; (3)| x | = 0; (4)| x | = – 3; (5)| 3x | = 9 [例1]解方程 (1) (2) 解:| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解:| 2x – 1 | = 3 + x [x ≥ - 3] | 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x) 1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x 2 = x 1 = 0 或 x 2 = 1 ★当方程中只含有一个肯定值时,可将肯定值看作一个整体来求解,再依据肯定值的定义去掉肯定值符号,最终达到解方程的目的。 解含肯定值方程的总原则是设法去掉肯定值符号,化为一般方程。由肯定值的定义: 可知,本题解法中,是先设法确定未知数的取值范围,从而得到肯定值中部分的正、负取值,最终达到去肯定值符号的目的。 【小试牛刀】 1、| x – 2 | - 2 = 0 2、 3、4 – 2 | 5 – x | = 3x 〖 x 1 = 4,x 2 = 0 〗 〖 x 1 =,x 2 = 〗 〖 x 1 = - 6,x 2 =(舍) 〗 [例2]解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3 解:x - | 2x + 1 | = 3 或 x - | 2x + 1 | = - 3 | 2x + 1 | = x – 3 [x ≥ 3] 或 | 2x + 1 | = x + 3 [x ≥ - 3] 2x + 1 = x – 3 或 2x + 1 = - (x – 1) 或 2x + 1 = x + 3 或 2x + 1 = - (x + 3) x 1 = - 4 (舍) x 2 = (舍) x 3 = 2 x 4 = ∴ 原方程的解为 x 1 = 2 ,x 2 = 【小试牛刀】 1、2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x 〖 x 1 =(舍),x 2 = 9 (舍),x 3 = 3,x 4 =(舍) 〗 2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0 〖 x 1 = 4,x 2 = - 2,x 3 = 2,x 4 = 0 〗 [例3]解方程| 3x – 2 | + | x + 1 | = 10 解:令3x – 2 = 0,x =;令x + 1 = 0,x = - 1 ① 当x < - 1时, ②当 – 1≤ x <时 ③当x ≥时 - (3x – 2) – (x + 1) = 10 - (3x – 2) + x + 1 = 10 3x – 2 + x + 1 = 10 - 3x + 2 – x – 1 = 10 - 3x + 2 + x + 1 = 10 3x + x = 10 + 2 – 1 - 3x – x = 10 – 2 + 1 - 3x + x = 10 – 2 – 1 4x = 11 - 4x = 9 - 2x = 7 ∴ x = ∴ x = ∴ x = (舍) ∴原方程的解为x 1 =,x 2 = ★由于零是正、负的分界点,因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应留意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内,从而确定它是否是原方程真正的解。 【小试牛刀】 1、| x – 4 | - | x + 3 | = 2 〖 x = 〗 2、15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 – 3x | = 0 〖 x 1 = - 2,x 2 = 〗 3、| x – 2 | - 3 | x + 1| = 2x – 9 〖 x = 〗 [思索] 1、已知ab < 0,且| a | = 2,| b | = 7,求 a + b的值 解:∵| a | = 2,∴a = ±2, ∵| b | = 7,∴b = ±7 又 ∵ab < 0, ∴a、b异号 ∴a + b = 答: