含绝对值一次方程的解法

含肯定值一次方程及方程组的解法 一、肯定值的代数和几何意义。 肯定值的代数意义正数的肯定值是它本身；负数的肯定值是它的相反数；零的肯定值是零。 用字母表示为 肯定值的几何意义表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的肯定值是非负 数。 依据肯定值的意义，我们可以得到 当 0时 x | x | 当 0时 x 0 当 0时 方程无解. 二、含肯定值的一次方程的解法 （1）形如型的肯定值方程的解法 ①当时，依据肯定值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得； ③当时，原方程变为或，解得或． （2）形如型的肯定值方程的解法 ①依据肯定值的非负性可知，求出的取值范围； ②依据肯定值的定义将原方程化为两个方程和； ③分别解方程和； ④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解． （3）形如型的肯定值方程的解法 ①依据肯定值的定义将原方程化为两个方程或； ②分别解方程和． （4）形如型的肯定值方程的解法 ①依据肯定值的几何意义可知； ②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两 种状况①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． （5）形如型的肯定值方程的解法 ①找肯定值零点令，得，令得； ②零点分段探讨不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③； ③分段求解方程在每一个区段内去掉肯定值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如型的肯定值方程的解法 解法一由内而外去肯定值符号 依据零点分段探讨的方式，由内而外逐层去掉肯定值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二由外而内去肯定值符号 ①依据肯定值的非负性可知，求出的取值范围； ②依据肯定值的定义将原方程化为两个肯定值方程和 ； ③解②中的两个肯定值方程． 三、热身练习 1、 求下列方程的解 （1）| x | 7； （2）5 | x | 10； （3）| x | 0； （4）| x | – 3； （5）| 3x | 9 ［例1］解方程 1 2 解| 1 – 2x | 3 – 4 0 解| 2x – 1 | 3 x ［x ≥ - 3］ | 1 – 2x | 1 2x – 1 3 x 或 2x – 1 - 3 x 1 – 2x 1或 1 – 2x - 1 x 1 4 或 x 2 x 1 0 或 x 2 1 ★当方程中只含有一个肯定值时，可将肯定值看作一个整体来求解，再依据肯定值的定义去掉肯定值符号，最终达到解方程的目的。 解含肯定值方程的总原则是设法去掉肯定值符号，化为一般方程。由肯定值的定义 可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到肯定值中部分的正、负取值，最终达到去肯定值符号的目的。 【小试牛刀】 1、| x – 2 | - 2 0 2、 3、4 – 2 | 5 – x | 3x 〖 x 1 4，x 2 0 〗 〖 x 1 ，x 2 〗 〖 x 1 - 6，x 2 舍 〗 ［例2］解方程 | x - | 2x 1 | | 3 解x - | 2x 1 | 3 或 x - | 2x 1 | - 3 | 2x 1 | x – 3 ［x ≥ 3］ 或 | 2x 1 | x 3 ［x ≥ - 3］ 2x 1 x – 3 或 2x 1 - x – 1 或 2x 1 x 3 或 2x 1 - x 3 x 1 - 4 舍 x 2 舍 x 3 2 x 4 ∴ 原方程的解为 x 1 2 ，x 2 【小试牛刀】 1、2 | 3 - | x 4 | | 2x 〖 x 1 舍，x 2 9 舍，x 3 3，x 4 舍 〗 2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 0 〖 x 1 4，x 2 - 2，x 3 2，x 4 0 〗 ［例3］解方程| 3x – 2 | | x 1 | 10 解令3x – 2 0，x ；令x 1 0，x - 1 ① 当x ＜ - 1时， ②当 – 1≤ x ＜时 ③当x ≥时 - 3x – 2 – x 1 10 - 3x – 2 x 1 10 3x – 2 x 1 10 - 3x 2 – x – 1 10 - 3x 2 x 1 10 3x x 10 2 – 1 - 3x – x 10 – 2 1 - 3x x 10 – 2 – 1 4x 11 - 4x 9 - 2x 7 ∴ x ∴ x ∴ x 舍 ∴原方程的解为x 1 ，x 2 ★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应留意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。 【小试牛刀】 1、| x – 4 | - | x 3 | 2 〖 x 〗 2、15 | 2x 3 | - 2 | 2 – 3x | 0 〖 x 1 - 2，x 2 〗 3、| x – 2 | - 3 | x 1| 2x – 9 〖 x 〗 ［思索］ 1、已知ab 0，且| a | 2，| b | 7，求 a b的值 解∵| a | 2，∴a 2， ∵| b | 7，∴b 7 又 ∵ab 0， ∴a、b异号 ∴a b 答