含绝对值的不等式知识点
含肯定值的不等式学问点 含肯定值的不等式 1.肯定值的意义是:. 2.|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}. |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a}. 【思索导学】 1.|ax+b|<b(b>0)转化成-b<ax+b<b的依据是什么? 答:含肯定值的不等式|ax+b|<b转化-b<ax+b<b的依据是由肯定值的意义确定. 2.解含有肯定值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有肯定值符号的不等式的基本思想是去掉肯定值符号,使不等式变为不含肯定值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2<|2x-5|≤7. 解法一:原不等式等价于 ∴即 ∴原不等式的解集为{x|-1≤x<或<x≤6} 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ) (Ⅱ) 不等式组(Ⅰ)的解集为{x|<x≤6} 不等式组(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x<} ∴原不等式的解集是{x|-1≤x<或<x≤6} 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x-5≤7 (Ⅱ)2<5-2x≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x|<x≤6} 不等式(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x<} ∴原不等式的解集是{x|-1≤x<或<x≤6}. 点评:含肯定值的双向不等式的解法,关键是去肯定值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用肯定值的定义如解法二、解法三. [例2]解关于x的不等式: (1)|2x+3|-1<a(a∈R); (2)|2x+1|>x+1. 解:(1)原不等式可化为|2x+3|<a+1 当a+1>0,即a>-1时,由原不等式得-(a+1)<2x+3<a+1 -<x< 当a+1≤0,即a≤-1时,原不等式的解集为, 综上,当a>-1时,原不等式的解集是{x|-<x< 当a≤-1时,原不等式的解集是. (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)或(Ⅱ) 不等式组(Ⅰ)的解为x>0 不等式组(Ⅱ)的解为x<- ∴原不等式的解集为{x|x<-或x>0} 点评:由于无论x取何值,关于x的代数式的肯定值均大于或等于0,即不行能小于0,故|f(x)|<a(a≤0)的解集为. 解不等式分状况探讨时,肯定要留意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必需合并如(2). 例3]解不等式|x-|2x+1||>1. 解:∵由|x-|2x+1||>1等价于(x-|2x+1|)>1或x-|2x+1|<-1 (1)由x-|2x+1|>1得|2x+1|<x-1 ∴ 即均无解 (2)由x-|2x+1|<-1得|2x+1|>x+1 ∴或 即,∴x>0或x<- 综上探讨,原不等式的解集为{x|x<-或x>0}. 点评:这是含多重肯定值符号的不等式,可以从“外”向“里”,反复应用解答肯定值基本不等式类型的方法,去掉肯定值的符号,逐次化解. 【随堂训练】 1.不等式|8-3x|>0的解集是( ) A. B.R C.{x|x≠,x∈R} D.{} 答案: C 2.下列不等式中,解集为R的是( ) A.|x+2|>1 B.|x+2|+1>1 C.(x-78)2>- 1 D.(x+78)2-1>0 答案: C 3.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( ) A.{x|-2<x<2 B.{x|0<x≤2 C.{x|-2≤x≤2} D.{x|x≥2或x≤-2} 解析: 所求点的集合即不等式|x|≤2的解集. 答案: C 4.不等式|1-2x|<3的解集是( ) A.{x|x<1 B.{x|-1<x<2 C.{x|x>2} D.{x|x<-1或x>2} 解析: 由|1-2x|<3得-3<2x-1<3,∴-1<x<2 答案: B 5.不等式|x+4|>9的解集是__________. 解析: 由原不等式得x+4>9或x+4<-9,∴x>5或x<-13 答案: {x|x>5或x<-13 6.当a>0时,关于x的不等式|b-ax|<a的解集是________. 解析: 由原不等式得|ax-b|<a,∴-a<ax-b<a ∴-1<x<+1 ∴{x|-1<x<+1 答案: {x|-1<x<+1} 【强化训练】 1.不等式|x+a|<1的解集是( ) A.{x|-1+a<x<1+a B.{x|-1-a<x<1-a C.{x|-1-|a|<x<1-|a| D.{x|x<-1-|a|或x>1-|a|} 解析: 由|x+a|<1得-1<x+a<1 ∴-1-a<x<1-a 答案: B 2.不等式1≤|x-3|≤6的解集是( ) A.{x|-3≤x≤2或4≤x≤9} B.{x|-3≤x≤9} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|4≤x≤9} 解析: 不等式等价于或 解得:4≤x≤9或-3≤x≤2. 答案: A 3.下列不等式中,解集为{x|x<1或x>3}的不等式是( ) A.|x-2|>5 B.|2x-4|>3 C.1-|-1|≤ D.1-|-1|< 解析: A中,由|x-2|>5得x-2>5或x-2<-5 ∴x>7或x<-3 同理,B的解集为{x|x>或x<-1} C的解集为{x|x≤1或x≥3} D的解集为{x|x<1或x>3} 答案: D 4.已知集合A={x||x-1|<2},B={x||x-1|>1},则A∩B等于( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|x<0或x>3} C.{x|-1<x<0} D.{x|-1<x<0或2<x<3} 解析: |x-1|<2的解为-1<x<3,|x-1|>1的解为x<0或x>2. ∴A∩B={x|-1<x<0或2<x<3}. 答案: D 5.已知不等式|x-2|<a(a>0)的解集是{x|-1<x<b},则a+2b= . 解析: 不等式|x-2|<a的解集为{x|2-a<x<2+a} 由题意知:{x|2-a<x<2+a}={x|-1<x<b} ∴ ∴a+2b=3+2×5=13 答案: 13 6.不等式|x+2|>x+2的解集是______. 解析: ∵当x+2≥0时,|x+2|=x+2,x+2>x+2无解. 当x+2<0时,|x+2|=-(x+2)>0>x+2 ∴当x<-2时,|x+2|>x+2 答案: {x|x<-2} 7.解下列不等式: (1)|2-3x|≤2;(2)|3x-2|>2. 解:(1)由原不等式得-2≤2-3x≤2,各加上-2得-4≤-3x≤0,各除以-3得≥x≥0,解集为{x|0≤x≤}. (2)由原不等式得3x-2<-2或3x-2>2,解得x<0或x>,故解集为{x|x<0或x>}. 8.解下列不等式:(1)3≤|x-2|<9;(2)|3x-4|>1+2x. 解:(1)原不等式等价于不等式组