含绝对值的不等式知识点

含肯定值的不等式学问点 含肯定值的不等式 1．肯定值的意义是. 2．｜x｜＜aa＞0的解集是｛x｜－a＜x＜a｝． ｜x｜＞aa＞0的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝． 【思索导学】 1．|ax＋b|＜bb＞0转化成－b＜ax＋b＜b的依据是什么 答含肯定值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的依据是由肯定值的意义确定． 2．解含有肯定值符号的不等式的基本思想是什么 答解含有肯定值符号的不等式的基本思想是去掉肯定值符号，使不等式变为不含肯定值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7． 解法一原不等式等价于 ∴即 ∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝ 解法二原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 Ⅰ Ⅱ 不等式组Ⅰ的解集为｛x｜＜x≤6｝ 不等式组Ⅱ的解集是｛x｜－1≤x＜｝ ∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝ 解法三原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． Ⅰ2＜2x－5≤7 Ⅱ2＜5－2x≤7 不等式Ⅰ的解集为｛x｜＜x≤6｝ 不等式Ⅱ的解集是｛x｜－1≤x＜｝ ∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝． 点评含肯定值的双向不等式的解法，关键是去肯定值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用肯定值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x的不等式 1｜2x＋3｜－1＜aa∈R； 2｜2x＋1｜＞x＋1． 解1原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1 当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－a＋1＜2x＋3＜a＋1 －＜x＜ 当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为， 综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜ 当a≤－1时，原不等式的解集是． 2原不等式可化为下面两个不等式组来解 Ⅰ或Ⅱ 不等式组Ⅰ的解为x＞0 不等式组Ⅱ的解为x＜－ ∴原不等式的解集为｛x｜x＜－或x＞0｝ 点评由于无论x取何值，关于x的代数式的肯定值均大于或等于0，即不行能小于0，故｜fx｜＜aa≤0的解集为． 解不等式分状况探讨时，肯定要留意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如1对变量分类，解集必需合并如2． 例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1． 解∵由|x－|2x＋1||＞1等价于x－|2x＋1|＞1或x－|2x＋1|＜－1 1由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1 ∴ 即均无解 2由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1 ∴或 即，∴x＞0或x＜－ 综上探讨，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}． 点评这是含多重肯定值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答肯定值基本不等式类型的方法，去掉肯定值的符号，逐次化解． 【随堂训练】 1．不等式|8－3x|＞0的解集是 A． B．R C．{x|x≠，x∈R} D．{} 答案 C 2．下列不等式中，解集为R的是 A．｜x＋2｜＞1 B．｜x＋2｜＋1＞1 C．x－782＞－ 1 D．x＋782－1＞0 答案 C 3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是 A．｛x｜－2＜x＜2 B．｛x｜0＜x≤2 C．｛x｜－2≤x≤2｝ D．｛x｜x≥2或x≤－2｝ 解析 所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集． 答案 C 4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是 A．｛x｜x＜1 B．｛x｜－1＜x＜2 C．｛x｜x＞2｝ D．｛x｜x＜－1或x＞2｝ 解析 由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2 答案 B 5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________． 解析 由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13 答案 ｛x｜x＞5或x＜－13 6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________． 解析 由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a ∴－1＜x＜＋1 ∴｛x｜－1＜x＜＋1 答案 ｛x｜－1＜x＜＋1｝ 【强化训练】 1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是 A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋a B．｛x｜－1－a＜x＜1－a C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜ D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝ 解析 由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1 ∴－1－a＜x＜1－a 答案 B 2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是 A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝ B．｛x｜－3≤x≤9｝ C．｛x｜－1≤x≤2｝ D．｛x｜4≤x≤9｝ 解析 不等式等价于或 解得4≤x≤9或－3≤x≤2． 答案 A 3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是 A．｜x－2｜＞5 B．｜2x－4｜＞3 C．1－｜－1｜≤ D．1－｜－1｜＜ 解析 A中，由｜x－2｜＞5得x－2＞5或x－2＜－5 ∴x＞7或x＜－3 同理，B的解集为｛x｜x＞或x＜－1｝ C的解集为｛x｜x≤1或x≥3｝ D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝ 答案 D 4．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x||x－1|＞1}，则A∩B等于 A．{x|－1＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|－1＜x＜0} D．{x|－1＜x＜0或2＜x＜3} 解析 |x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1|＞1的解为x＜0或x＞2． ∴A∩B＝{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}． 答案 D 5．已知不等式｜x－2｜＜aa＞0的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝ ． 解析 不等式｜x－2｜＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝ 由题意知｛x｜2－a＜x＜2＋a｝＝｛x｜－1＜x＜b｝ ∴ ∴a＋2b＝3＋25＝13 答案 13 6．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______． 解析 ∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解． 当x＋2＜0时，|x＋2|＝－x＋2＞0＞x＋2 ∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2 答案 ｛x｜x＜－2｝ 7．解下列不等式 1|2－3x|≤2；2|3x－2|＞2． 解1由原不等式得－2≤2－3x≤2，各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得≥x≥0，解集为{x|0≤x≤}． 2由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞，故解集为{x|x＜0或x＞}． 8．解下列不等式13≤|x－2|＜9；2|3x－4|＞1＋2x． 解1原不等式等价于不等式组