含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] 答 选C. 例2 肯定值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析 列出不等式. 解 依据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5, 答 选D. 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学学问对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7 例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A. 分析 转化为解肯定值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x-6|<5 因为x∈N,所以A={0,1,5}. 说明:留意元素的限制条件. 例5 实数a,b满意ab<0,那么 [ ] A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析 依据符号法则及肯定值的意义. 解 ∵a、b异号, ∴ |a+b|<|a-b|. 答 选C. 例6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b的值为 [ ] A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答 选D. 说明:本题事实上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析 分类探讨. x<m. {x|1-m<x<m}. 说明:分类探讨时要预先确定分类的标准. 分析 一般地说,可以移项后变形求解,但留意到分母是正数,所以能干脆去分母. 解 留意到分母|x|+2>0,所以原不等式转化为2(3-|x|)≥|x|+2,整理得 说明:分式不等式经常可以先判定一下 分子或者分母的符号,使过程简便. 例9 解不等式|6-|2x+1||>1. 分析 以通过变形化简,把该不等式化归为|ax+b|<c或|ax+b|>c型的不等式来解. 解 事实上原不等式可化为 6-|2x+1|>1 ① 或 6-|2x+1|<-1 ② 由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2; 由②得|2x+1|>7,解之得x>3或x<-4. 从而得到原不等式的解集为{x|x<-4或-3<x<2或x>3}. 说明:本题须要多次运用肯定值不等式的解题理论. 例10 已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是________. 分析 可以依据对|x+2|+|x-3|的意义的不同理解,获得多种方法. 解法一 当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+3<a即-2x+1<a有解,而-2x+1≥5, ∴a>5. 当-2<x≤3时,不等式化为x+2-x+3<a即a>5. 当x>3是,不等式化为x+2+x-3<a即2x-1<a有解,而2x-1>5,∴a>5. 综上所述:a>5时不等式有解,从而解集非空. 解法二 |x+2|+|x-3|表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,明显最小值为3-(-2)=5.故可求a的取值范围为a>5. 解法三 利用|m|+|n|>|m±n|得 |x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5. 所以a>5时不等式有解. 说明:通过多种解法熬炼思维的发散性. 例11 解不等式|x+1|>2-x. 分析一 对2-x的取值分类探讨解之. 解法一 原不等式等价于: 由②得x>2. 分析二 利用肯定值的定义对|x+1|进行分类探讨解之. 解法二 因为 原不等式等价于: 例12 解不等式|x-5|-|2x+3|<1. 分析 设法去掉肯定值是主要解题策略,可以依据肯定值的意义分 -(x-5)+(2x+3)<1,得x<-7,所以x<-7; -(x-5)-(2x+3)<1, 当x>5时,原不等式可化为 x-5-(2x+3)<1, 解之得x>-9,所以x>5. 说明:在含有肯定值的不等式中,“去肯定值”是基本策略. 例13 解不等式|2x-1|>|2x-3|. 分析 本题也可实行前一题的方法:实行用零点分区间探讨去掉绝 之,则更显得流畅,简捷. 解 原不等式同解于 (2x-1)2>(2x-3)2, 即4x2-4x+1>4x2-12x+9, 即8x>8,得x>1. 所以原不等式的解集为{x|x>1}. 说明:本题中,假如把2x当作数轴上的动坐标,则|2x-1|>|2x-3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离,则2x应当在2的右边,从而2x>2即x>1.