含有参数的函数单调性问题教学设计
含有参数的函数单调性问题教学设计 胡蓉 一、教材地位 导数在新课标卷中以压轴题的形式考察,近五年最终一道压轴题都是含有参数的函数题,熟识含参函数单调性问题的求解是特别重要的,它是解决含参函数极值、最值、零点等问题的基础。 二、教学背景与教学目标 笔者所教学生为重点中学文科学生,己经学完导数在探讨函数中的应用三个课时,但是相对而言还比较零散,缺少整体联系但又具有肯定的学问迁移实力。 学生在学习一元二次不等式时,常常遇到含参问题,须要进行探讨,因此对含参问题并不生疏。但是对于含参的函数的单调性问题,何时须要分类探讨,以及如何分类探讨做到不重不漏并不清晰,也没有形成解题系统。 三、教学重点、难点 重点:驾驭含有参数的函数单调性问题分析及解决实力 难点:培育利用分类探讨、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识 四、教学过程设计 (一)复习引入 (1)求函数的单调区间 设计意图:师生共同解决此题,同时回顾了不含参函数单调区间的求解过程,也为解决例1搭建桥梁 解:函数定义域为, 令得; 令得 综上, 的单调递增区间为,单调递减区间为 (二)探究新知 例1、求函数的极值 老师活动:老师供应如下解法,让学生思索、点评. 解:函数定义域为, 令得; 令得 综上, 的单调递增区间为,单调递减区间为 设计意图:训练学生考虑问题严谨的思维,同时引导学生发觉单调区间的确定与的正负值有关,从而确定分类标准。 学生活动:学生依据上述错解的启发,独立对错解进行修改,补充,作答。得到正解 解:函数定义域为, (1)当时令得; 令得 (2)当时, 综上, 当时的单调递增区间为,单调递减区间为 当时,的单调递增区间为 老师活动:老师通过几何画板动态演示不同值时单调区间的状况,,并引导学生归纳求解含参函数单调性问题的一般步骤。 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于探讨正负), 3、先探讨只有一种单调区间的(导函数同号的)状况, 4、再探讨有增有减的状况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、留意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。 设计意图:通过几何画板演示,印证了例1所求结果,同时使学生大脑中对函数图像由抽象变得详细,更有画面感,为后面解决极值和最值做铺垫。后面总结求解步骤,提高学生归纳推理的实力。 练习1.(2015课标全国卷Ⅱ)已知 (1)探讨的单调性 学生活动:学生先独立完成,再小组探讨,完善解题步骤。 老师活动:投影学生解答过程及点评。同样动态演示值变更时单调区间状况。 教学意图:趁热打铁,强化解题过程 (三)学问应用 例1.变式1:求函数在区间上的最小值 老师活动:老师利用几何画板在例1图的基础上作出与两条直线,变更值,让学生细致视察两直线间函数最小值状况,有四种状况如下图。 视察时可引导学生分析:①当考察区间在自然定义域的子区间时,若自然定义域的单调性有增有减(即有极值点)时,应对考察区间与极值点的相对位置进行探讨。这类比于高一学习的含参二次函数在特定区间的最值问题,“定轴移区间”和“定区间移轴”。 学生活动:在老师的引导下,整理思路,完成解答。 设计意图:该题是例1求出函数单调区间的应用,使进一步体会数形结合思想在分类探讨中推断出分类标准的作用。在分析时,运用了类比的数学思想,以以往学问为动身点,学生更简单理解,触类旁通。 变式2:若函数在区间上恰有两个零点,求的取值范围。 老师/学生活动:老师利用几何画板在变式1图的基础上变更值,使图在与两条直线间出现两个零点,学生结合图视察分析在有两个零点的等价条件。 分析时可引导学生类比高一学过的二次函数根的分布问题:例如二次函数在上有两个零点,学生简单类比推理求出此题的解。 设计意图:推断零点个数,一般先考察函数在该区间上的单调性,并结合零点存在定理。 (四)练习 1.探讨函数的单调区间 设计意图:。通过此题,引导学生分类探讨时要留意扮演的两个角色:一个影响最高次项的符号,一个影响方程的根。 2.已知函数,求单调区间 设计意图:当导函数中的代数式能因式分解时,常见的分类探讨标准有几种可能:①方程是否有根;②若方程有根,求出根后是否在定义域内;③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法。