含有参数的函数单调性问题教学设计

含有参数的函数单调性问题教学设计 胡蓉 一、教材地位 导数在新课标卷中以压轴题的形式考察，近五年最终一道压轴题都是含有参数的函数题，熟识含参函数单调性问题的求解是特别重要的，它是解决含参函数极值、最值、零点等问题的基础。 二、教学背景与教学目标 笔者所教学生为重点中学文科学生，己经学完导数在探讨函数中的应用三个课时，但是相对而言还比较零散，缺少整体联系但又具有肯定的学问迁移实力。 学生在学习一元二次不等式时，常常遇到含参问题，须要进行探讨，因此对含参问题并不生疏。但是对于含参的函数的单调性问题，何时须要分类探讨，以及如何分类探讨做到不重不漏并不清晰，也没有形成解题系统。 三、教学重点、难点 重点驾驭含有参数的函数单调性问题分析及解决实力 难点培育利用分类探讨、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识 四、教学过程设计 （一）复习引入 （1）求函数的单调区间 设计意图师生共同解决此题，同时回顾了不含参函数单调区间的求解过程，也为解决例1搭建桥梁 解函数定义域为， 令得； 令得 综上， 的单调递增区间为，单调递减区间为 （二）探究新知 例1、求函数的极值 老师活动老师供应如下解法，让学生思索、点评. 解函数定义域为， 令得； 令得 综上， 的单调递增区间为，单调递减区间为 设计意图训练学生考虑问题严谨的思维，同时引导学生发觉单调区间的确定与的正负值有关，从而确定分类标准。 学生活动学生依据上述错解的启发，独立对错解进行修改，补充，作答。得到正解 解函数定义域为， （1）当时令得； 令得 （2）当时， 综上， 当时的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，的单调递增区间为 老师活动老师通过几何画板动态演示不同值时单调区间的状况，，并引导学生归纳求解含参函数单调性问题的一般步骤。 步骤小结1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于探讨正负）， 3、先探讨只有一种单调区间的（导函数同号的）状况， 4、再探讨有增有减的状况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、留意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 设计意图通过几何画板演示，印证了例1所求结果，同时使学生大脑中对函数图像由抽象变得详细，更有画面感，为后面解决极值和最值做铺垫。后面总结求解步骤，提高学生归纳推理的实力。 练习1.（2015课标全国卷Ⅱ）已知 （1）探讨的单调性 学生活动学生先独立完成，再小组探讨，完善解题步骤。 老师活动投影学生解答过程及点评。同样动态演示值变更时单调区间状况。 教学意图趁热打铁，强化解题过程 （三）学问应用 例1.变式1求函数在区间上的最小值 老师活动老师利用几何画板在例1图的基础上作出与两条直线，变更值，让学生细致视察两直线间函数最小值状况，有四种状况如下图。 视察时可引导学生分析①当考察区间在自然定义域的子区间时，若自然定义域的单调性有增有减（即有极值点）时，应对考察区间与极值点的相对位置进行探讨。这类比于高一学习的含参二次函数在特定区间的最值问题，“定轴移区间”和“定区间移轴”。 学生活动在老师的引导下，整理思路，完成解答。 设计意图该题是例1求出函数单调区间的应用，使进一步体会数形结合思想在分类探讨中推断出分类标准的作用。在分析时，运用了类比的数学思想，以以往学问为动身点，学生更简单理解，触类旁通。 变式2若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围。 老师/学生活动老师利用几何画板在变式1图的基础上变更值，使图在与两条直线间出现两个零点，学生结合图视察分析在有两个零点的等价条件。 分析时可引导学生类比高一学过的二次函数根的分布问题例如二次函数在上有两个零点，学生简单类比推理求出此题的解。 设计意图推断零点个数，一般先考察函数在该区间上的单调性，并结合零点存在定理。 （四）练习 1.探讨函数的单调区间 设计意图。通过此题，引导学生分类探讨时要留意扮演的两个角色一个影响最高次项的符号，一个影响方程的根。 2.已知函数，求单调区间 设计意图当导函数中的代数式能因式分解时，常见的分类探讨标准有几种可能①方程是否有根；②若方程有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法。