含参数的一元二次不等式的求解方法解析
含参数的一元二次不等式的求解方法解析 冯婷 含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点,本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。 含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数,因此往往须要对参数不同取值进行分类探讨从而加以求解。一般状况下,含参数的一元二次不等式的分类和探讨步骤如下: (1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式,要留意对二次项系数是否为零的探讨,当特殊当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解; (2)对含参数的一元二次不等式,在其解的状况不明确的状况下,须要对其判别式分三种状况加以探讨; (3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根表示的形如的形式时,往往须要对其根分三种状况进行探讨,或用韦达定理帮助求解。 一、对根的状况及判别式分类探讨 例1 解关于的不等式。 解: ① 当即时,方程有两个不相等的实数根,则该不等式的解集为。 ② 当即时,方程有两个相等的实数根,则该不等式的解集为。 ③ 当即时,方程无实数根,则该不等式的解集为。 注:本题由于方程根的状况不确定,则须要对其判别式进行分类探讨。 例2 解关于的不等式。 解:① 当即时,上述不等式可化简为,此时不等式的解集为。 ② 当即时,。 (1)当,即时, 若即,则此时不等式的解集为。若即,则此时不等式的解集为。 (2)当,即时, 若即,则此时不等式的解集为。若即,则此时不等式的解集为。 (3)当△>0,即时, 若即,则此时不等式的解集为。若即,则此时不等式的解集为 。 注:当二次项系数有参数且有可能为零时,首先须要对二次项是否为零进行探讨。本题中,由于含参数的一元二次不等式的根的状况不确定,因此须要对其判别式进行探讨。 二、对根的大小状况分类探讨 例3 解关于的不等式。 解:将二次项系数化正可得,,即 方程的根为:。下面对方程根的大小进行探讨 ① 当,即时,各根在数轴上的分布即穿线如下: 此时,不等式的解集为 ② 当,即时,各根在数轴上的分布即穿线如下: 此时,不等式的解集为 ③ 当,即时,各根在数轴上的分布即穿线如下: 此时,不等式的解集为 ④ 当,即时,各根在数轴上的分布即穿线如下: 此时,不等式的解集为 ⑤ 当,即时,各根在数轴上的分布即穿线如下: 此时,不等式的解集为 注:本题虽然是一元三次不等式求解问题,但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如的形式,利用数轴,通过对三个根大小的分类探讨,来进行不等式求解。 例4 解的不等式。 解:① 当时,原不等式可化简为,此时不等式的解集为 ② 当时,原不等式可转化为 (1)当时,有 若即,此时不等式的解集为。 若即,此时不等式的解集为. 若即,此时不等式的解集为。 (2)当时,有,且,此时不等式的解集为。 注:本题在对二次项系数是否为零进行探讨的基础上,由于本题的一元二次不等式可以进行因式分解,因此须要对其根的大小进行探讨。特殊留意在从化简到的过程中,由于不等式两边同时除了,因此须要对是否非零以及正负状况加以分类分析。 总结:利用分类探讨的方法求解含参数一元二次不等式问题时,往往须要进行一次以上的分类探讨。一般状况下,若二次项系数有参数的,先对二次项系数是否为零进行探讨;然后看该一元二次不等式能否因式分解,假如不能的话,则依据其判别式的正负状况再进行探讨,假如能因式分解的,则须要对其两根的大小进行分类探讨。 4