含参数的一元二次不等式的求解方法解析

含参数的一元二次不等式的求解方法解析 冯婷 含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。 含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往须要对参数不同取值进行分类探讨从而加以求解。一般状况下，含参数的一元二次不等式的分类和探讨步骤如下 （1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要留意对二次项系数是否为零的探讨，当特殊当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解； （2）对含参数的一元二次不等式，在其解的状况不明确的状况下，须要对其判别式分三种状况加以探讨； （3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根表示的形如的形式时，往往须要对其根分三种状况进行探讨，或用韦达定理帮助求解。 一、对根的状况及判别式分类探讨 例1 解关于的不等式。 解 ① 当即时，方程有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为。 ② 当即时，方程有两个相等的实数根，则该不等式的解集为。 ③ 当即时，方程无实数根，则该不等式的解集为。 注本题由于方程根的状况不确定，则须要对其判别式进行分类探讨。 例2 解关于的不等式。 解① 当即时，上述不等式可化简为，此时不等式的解集为。 ② 当即时，。 （1）当，即时， 若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为。 （2）当，即时， 若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为。 （3）当△0，即时， 若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为 。 注当二次项系数有参数且有可能为零时，首先须要对二次项是否为零进行探讨。本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的状况不确定，因此须要对其判别式进行探讨。 二、对根的大小状况分类探讨 例3 解关于的不等式。 解将二次项系数化正可得，，即 方程的根为。下面对方程根的大小进行探讨 ① 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下 此时，不等式的解集为 ② 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下 此时，不等式的解集为 ③ 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下 此时，不等式的解集为 ④ 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下 此时，不等式的解集为 ⑤ 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下 此时，不等式的解集为 注本题虽然是一元三次不等式求解问题，但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如的形式，利用数轴，通过对三个根大小的分类探讨，来进行不等式求解。 例4 解的不等式。 解① 当时，原不等式可化简为，此时不等式的解集为 ② 当时，原不等式可转化为 （1）当时，有 若即，此时不等式的解集为。 若即，此时不等式的解集为. 若即，此时不等式的解集为。 （2）当时，有，且，此时不等式的解集为。 注本题在对二次项系数是否为零进行探讨的基础上，由于本题的一元二次不等式可以进行因式分解，因此须要对其根的大小进行探讨。特殊留意在从化简到的过程中，由于不等式两边同时除了，因此须要对是否非零以及正负状况加以分类分析。 总结利用分类探讨的方法求解含参数一元二次不等式问题时，往往须要进行一次以上的分类探讨。一般状况下，若二次项系数有参数的，先对二次项系数是否为零进行探讨；然后看该一元二次不等式能否因式分解，假如不能的话，则依据其判别式的正负状况再进行探讨，假如能因式分解的，则须要对其两根的大小进行分类探讨。 4